Círculo inscrito entre dos curvas.

Question

Considere el plano de la región de $S_n$ acotado por arriba y por debajo de los gráficos de $f_n(x)=x^{1/n}$ e $g_n(x)=x^n$, $0\le x\le1$.

Cómo encontrar el radious y en el centro del círculo inscrito en $S_n$?

Intuitivamente, el centro está en el set $\{(A,A):0\le A\le 1\}$, por lo que podemos pensar el problema de encontrar el valor de $A$ e $r$ tales que la ecuación de $(x-A)^2+(x^n-A)^2=r^2$ tiene una única solución para $x$.

Otro enfoque es parametrización, pero ecuaciones no son fáciles de resolver.

Hay alguna sugerencia?

Answer 1

Si las curvas constituyen a una función y su inversa, como es el caso en el ejemplo, entonces usted tiene que comprobar los pares de puntos a $p:=(x_a,f(x_a)),\ q:=(x_b,f^{-1}(x_b))=(f(x_a),x_a)$, por lo que:
$$\frac{d}{dx}f(x_a)=1=\frac{d}{dx}f^{-1}(x_b)\quad \wedge\quad \frac{f^{-1}(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}=-1$$ si, como es el caso en el ejemplo, la región definida por las dos curvas convexas, que par de puntos es único y por lo tanto $(p,q)$ marcas de un diámetro mayor de la figura del círculo y por lo tanto $p=((\frac{1}{n})^\frac{1}{n-1},(\frac{1}{n})^{\frac{n}{n-1}}),\ q=((\frac{1}{n})^{\frac{n}{n-1}},(\frac{1}{n})^\frac{1}{n-1})$ definir el par de puntos en los cuales el mayor contenido círculo toca ambas curvas; el diámetro es igual a la distancia de $p$ e $q$