Desintegración exponencial del gradiente si la función en sí misma y el laplaciano tienen una desintegración exponencial

Question

Deje $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dos veces continuamente diferenciable. Para $n=1$ uno puede demostrar que el uso de Taylors fórmula que hemos $$ \sup_{\vert x \vert \leq R} \vert f'(x) \vert \leq 2\left( \sup_{\vert x \vert \leq R+1} \vert f(x) \vert \right) + \left( \sup_{\vert x \vert \leq R+1} \vert f''(x) \vert \right) $$ A partir de esto podemos demostrar que si $f$ e $f''$ han decaimiento exponencial, entonces también lo hace $f'$. Mi pregunta es, si esto es cierto todavía en mayor dimensión en la siguiente versión

Es la declaración siguiente es cierto: Si $f$ e $\Delta f$ han decaimiento exponencial, a continuación, $\nabla f$ ha decaimiento exponencial (supongo que es cierto que si tenemos el completo estado de Hesse, en lugar de sólo el Laplaciano de utilizar de nuevo de Taylor teorema).

De todos modos, yo ya sería feliz de saber la respuesta para $n=3$ (también si usted quiere asumir otro continuo derivado o dos, be my guest. Incluso asumiendo $f$ a ser suave, estaría bien para mí).

Incluso la radial caso estaría bien. Sin embargo, aún no veo cómo hacerlo. El cambio a coordenadas esféricas llegamos $g: [0; \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$ \vert g (r) \vert , \vert g''(r) + \frac{2}{r} g'(r) \vert \leq D e^{-C r} $$ y queremos a la conclusión de que lo mismo es cierto para $g$.

Answer 1

Gracias a @CalvinKhor encontré el siguiente mathoverflow respuesta https://mathoverflow.net/questions/214937/gagliardo-nirenberg-inequality-for-the-laplacian/214946 donde se muestran para cada $n$ existe una constante $c$ tal que para cualquier $f\in C^2(\mathbb{R}^n)$ $$ \Vert \nabla f \Vert_{L^\infty(B_1)} \leq C (\Vert \Delta f \Vert_{L^\infty(B_2)} + \Vert f \Vert_{L^\infty(B_2)}) $$ Que nos permite obtener el decaimiento exponencial de $\nabla f$ dado que $f$ e $\Delta f$ decaimiento exponencial.