¿Cómo estimar$\sum_{p\leqslant x}\sum_{q\leqslant x}\frac{1}{p+q}$?

Question

Cómo calcular los $$\sum_{p\leqslant x}\sum_{q\leqslant x}\frac{1}{p+q}, \qquad\qquad(1)$$ donde $p$, $q$ son números primos.

Tenemos la Mertens' fórmula $$ \sum_{p\leqslant x} \frac{1}{p} = \log\log x+ B + O\left( \frac{1}{\log x} \right), $$ donde $p$ es el primer número y $B=\gamma - \sum_{p} \left( \log \left( \frac{1}{1-1/p} \right) - \frac{1}{p} \right)$ es el Mertens constante, $\gamma$ es la constante de Euler.

Supongo que en el término de (1) es $\dfrac{x\log\log x}{\log x}$, pero no puedo probarlo, me Puedes ayudar?

Answer 1

De hecho, su suma (vamos a denotar es $S$) satisface $$ \frac x{2\log^2 x}\, (1+o(1)) \le S\le \frac{2x}{\log^2 x}\, (1+o(1)), \tag{$\ast$} $$ de modo que $x\log\log x/\log x$ no puede ser el término principal.

El límite superior es fácil de probar la observación de que $$ \frac1{p+q} \le \frac1{2\sqrt{pq}} $$ por el AM-GM de la desigualdad. De ello se sigue que $$ S \le \frac12\,\sum_{p,q\le x} \frac1{\sqrt{pq}} = \frac12\left(\sum_{p\le x} \frac1{\sqrt p}\right)^2. $$ La suma en el lado derecho se conoce a satisfacer $$ \sum_{p\le x} \frac1{\sqrt p} = \frac{2\sqrt x}{\log x}\,(1+o(1)). $$ La combinación de las dos últimas estimaciones, se obtiene el límite superior ($\ast$).

Para el límite inferior, acaba de darse cuenta de que $$ S \ge \sum_{p,q\le x}\frac1{2x} = \frac{(\pi(x))^2}{2x} = \frac x{2\log^2 x}\, (1+o(1)) $$ por el teorema de los números primos.