Considere la siguiente prueba de la afirmación en el título:
Decir $A=\{x\in 2^\omega: \phi(x,y)\}$, donde $\phi$ es $\Sigma_2^1$ fórmula y $y\in 2^\omega$. Por Shoenfield del absolutismo, $$x\in A \iff L(x,y)\models \phi(x,y)$$ Debido a $\omega_1$ es inaccesible a los reales, $\mathcal{P}(\mathbb{P})\cap L(z)$ es contable para cada $z\in 2^\omega$, donde $\mathbb{P}=\text{Fn}(\omega,2)$ es Cohen forzar. Por lo tanto, el conjunto de $$\{g\in 2^\omega: g\text{ is Cohen generic over }L(z)\}$$ es comeager. Ahora, por cada Cohen genérico $g$ sobre $L(y)$, $$ \begin{aligned} g\in A&\iff L(y,g)\models \phi(g,y)\\ &\iff \exists n<\omega \left[g\upharpoonright n \Vdash^{L(y)}\phi(\dot g,\check y)\right]\\ &\iff g\in \bigcup\left\{N_s\cap 2^\omega: s\Vdash^{L(y)} \phi(\dot g,\check y)\right\} \end{aligned} $$ y este conjunto es abierto.
Ahora, el título de la pregunta es un teorema de ZFC. Sin embargo, cuando se mira la prueba, estoy confundido, porque estamos a $L(x,y)$ e $L(y,g)$ son propias clases, y estamos lidiando con $L(x,y)\models \phi(x,y)$ para todos los $\Sigma_2^1$ fórmulas a la vez. Y no podemos escribir $N\models \psi$ como una propiedad del conjunto de $\psi$ (asumiendo que hemos formalizado de la lógica de primer orden en ZFC) cuando $N$ es una clase adecuada por Tarski del Undefinability de la Verdad. Podemos metalinguistically definir $\psi^N$ una fórmula en un tiempo, pero este no parece ser el espíritu de la prueba. Por otra parte, se puede definir $\mathbf{\Sigma}_2^1$ sin ningún tipo de lógica (es decir, como proyecciones de co-analítica de conjuntos).
Hay un error en mi razonamiento? ¿Cómo conciliar estos puntos?
