Verificación de prueba: probar que$\sqrt{n}$ es irracional.

Question

Problema

Deje $n$ ser un entero positivo y no un cuadrado perfecto. Demostrar $\sqrt{n}$ es irracional.

Prueba

Considerar la prueba por contradicción. Si $\sqrt{n}$ es racional, entonces existen dos coprime enteros $p,q$ tales que $$\sqrt{n}=\frac{p}{q},$$ which implies $$p^2=nq^2.$$ Por otra parte, desde la $p, q$ son coprime, por el teorema de Bézout, existen dos enteros $a,b$ tal que $$ap+bq=1.$$ Así $$p=ap^2+bpq=anq^2+bpq=(anq+bp)q,$$ which implies $$\sqrt{n}=\frac{p}{q}=anq+bp \in \mathbb{N^+},$$ lo que se contradice.

Answer 1

Está bien.

Tal vez solo tenga en cuenta que la igualdad $p=(anq+bp)q$ va en contra de la hipótesis de que $p$ y $q$ son coprime, a menos que $q=1$ , en cuyo caso $\sqrt n=p\in\mathbb Z$ . Pero eso es solo una cuestión de gusto.

Answer 2

En este nivel, se debe ser más explícito acerca de cómo la contradicción se obtiene, es decir, el final de la ecuación contradice la hipótesis de que la $n$ es un cuadrado perfecto. El que se hace la prueba es correcta.

La prueba esencialmente repite en línea el siguiente Bezout basado en la prueba de Euclides de la Lema (para $\,k = p)$. En general es mejor para invocar el Lema por su nombre (Euclides del Lema) en lugar de repetir su prueba en línea, es decir, en su prueba, usted puede escribir $\,\gcd(p,q)=1,\ q\mid p^2\,\Rightarrow\, q\mid p\,$ por Euclides del Lexema.

Euclides del Lexema $\ \gcd(p,q) = 1,\,\ q\mid p k\,\Rightarrow\, q\mid k$

Prueba de $\,\ q\mid pk,qk\, \Rightarrow\, q\mid (ap\!+\!bq)k = k,\,$ donde $\,ap\!+\!bq = 1\,$ por Bezout.

Comentario $ $ Ver aquí para una simple Bezout base de la prueba que generaliza a los de más alto grado raíces y arbitraria algebraica de números enteros {es decir, monic caso [de plomo coef $=1]$ de la Raíz Racional de la Prueba). Utiliza Bezout para reducir el grado de la monic polinomio de que el número es la raíz, para que eventualmente podamos llegar a un lineal monic $\,x - n,\,$ lo $\,x = n\,$ es un número entero.

Answer 3

La prueba por contradicción no es necesario. Basta de "tomar el contrapositivo". Esto es cuando se cambia el antecedente y la conclusión de una implicación y los niegan. Formalmente, se parece a esto:

$$ P \implies Q \text{ has the contrapositive } \neg Q \implies \neg P$$

Se aplica a la prueba de la siguiente manera. Su argumento muestra que si $\sqrt{n}$ es racional, entonces debe ser un número entero. Pero si $\sqrt{n}$ es un número entero, entonces $n$ debe ser un cuadrado perfecto.

Esto significa que si $n$ es no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{n}$ es no un entero, por lo $\sqrt{n}$ es no racional. Q. E. D.