Reescribe$(\det A)^{1/n}=\min\left\{\frac{\mathrm{tr}(AC)}{n}:C \in \Bbb{C}^{n×n},C>0,\det C=1\right\}$ en términos de$\frac{\rm{tr}(CAC)}{n}$

Question

Dado $$ (\det a)^{1/n} = \min \left\{\frac{\operatorname{tr}(AC)}{n} : C \in {\Bbb C}^{n \times n}, C > 0, \det C = 1\right\}. \label1\tag1 $$ Pregunta

1. Mostrar que la fórmula puede escribirse como $$ (\det a)^{1/n} = \min \left\{\frac{\operatorname{tr}(CAC)}{n} : C \in {\Bbb C}^{n \times n}, C > 0, \det C = 1\right\}. \label{2}\etiqueta{2} $$
2. A continuación, mostrar con un ejemplo que la fórmula \eqref{1} es falso si $A$ es singular.

Mi enfoque, encantaría recibir sus opiniones:

El determinante y la traza son dos animales diferentes, poca relación entre ellos se puede encontrar.

Si la matriz no es sólo simétrica (eremíticas), pero también positiva semi-definida, a continuación, sus autovalores son reales y no negativos. Por lo tanto, dadas las propiedades de ${\rm tr}(AC)=\sum \lambda_c$ e ${\rm det}(A)=\prod \lambda_C$, y recordando la AM GM desigualdad, se obtiene el siguiente (probablemente no muy útil) de la desigualdad:

$$\frac{\operatorname{tr}(AC)}{n} \ge {\det}(A)^{1/n}.$$

(igualdad tiene iff $M = \lambda I$ para algunos $\lambda \ge 0$)

Mi Solución:

1. Si $\det C = 1$, se podría decir que $C$ es una unidad de la matriz o una matriz de identidad, y que por tanto no tiene ningún otro máx. o min. ocurrencias, así, la fórmula puede ser re-expresadas como se indicó anteriormente?

2. Se podría decir que $AC = A = $ matriz con ceros y sólo autovalores en la diagonal $\lambda_1 ,..., \lambda_i,..., \lambda_n$, luego $$ \frac{\lambda_1 +...+\lambda_n}{n} \ge (\lambda_1 \cdot ... \cdot \lambda_n)^{1/n}$$ y $$ \frac{\lambda_1 +...+\lambda_n}{(\lambda_1 \cdot ... \cdot \lambda_n)^{1/n}} \ge n\:? $$

   Entonces, yo digo que si $A$ es singular, a continuación, $\det A = 0$ por lo tanto una de las $\lambda_i = 0$, por lo tanto el producto de todos los $\lambda_i = 0$, por lo tanto, se podría decir que $\frac{0}{0} \ge n$ (aunque es indefinido), por lo tanto, contradice la suposición y la fórmula no es de una singular de la matriz?

Lo que yo estoy luchando con: donde me negrita "se podría decir que" - no estoy seguro de que es correcta y me encantaría saber tu opinión.

Answer 1

La afirmación es verdadera si $A$ es positiva definida o $A=0$.

Declaración de $(2)$ puede ser visto fácilmente a ser equivalente a la declaración de $(1)$, debido a que cuando se $C>0$, $\operatorname{tr}(AC)=\operatorname{tr}(AC^{1/2}C^{1/2})=\operatorname{tr}(C^{1/2}AC^{1/2})$ e $\det(C)=1$ si y sólo si $\det(C^{1/2})=1$. En otras palabras, el $C$ en $(2)$ es simplemente la raíz cuadrada de la $C$ en $(1)$.

Cuando $A$ es distinto de cero, el singular y el positivo semidefinite, ya $C^{1/2}AC^{1/2}$ es congruente a $A$, $\operatorname{tr}(AC)=\operatorname{tr}(C^{1/2}AC^{1/2})$ es siempre positivo. Por lo tanto, las declaraciones de $(1)$ e $(2)$ son falsas, pero que puede ser corregido mediante la toma de infima en lugar de los mínimos (que no existen).