Solución de la segunda ecuación ordinaria

Question

Tengo la siguiente pregunta. Sea $\phi_1$ y $\phi_2$ soluciones fundamentales del sistema en un intervalo $I$ para la ecuación de segundo orden $$ y''+a(x)y= 0. $$ Demostrar que existen soluciones fundamentales del sistema $\{y_1,y_2\}$ tal que el Wronksiano $W[y_1,y_2]$ satisface $W[y_1,y_2]=1$ .

Así que, sé que $\{y_1,y_2\}$ es un sistema de solución fundamental significa que cualquier solución $y$ de edo está escrito: $y(x)= c_1 y_1(x)+ c_2 y_2(x)$ donde $c_1$ y $c_2$ contactos arbitrarios. Entonces $W[y_1,y_2]= y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y_1'(x)$ . Pero no sé cómo resolver la cuestión y cuál es la utilidad de $\phi_1$ y $\phi_2$ .

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Dada la ecuación

$y'' + a(x)y = 0, \tag 1$

con Wronskian

$W[y_1, y_2] = y_1y_2' - y_1'y_2, \tag 2$

tenemos

$W' = (y_1y_2' - y_1'y_2)' = y_1'y_2' + y_1y_2'' - y_1''y_2 - y_1'y_2' = y_1y_2'' - y_1''y_2; \tag 3$

ahora, (1) implica

$y_i'' = -a(x)y_i, \; i = 1, 2; \tag 4$

sustituyendo (4) en (3) encontramos

$W' = -a(x)y_1y_2 + a(x)y_1y_2 = 0; \tag 5$

se deduce que $W$ es constante; así, si inicializamos el $y_i$ , $y_i'$ , $i = 1, 2$ tal que

$W[y_1, y_2] = 1, \tag 6$

$W$ se mantendrá fija en $1$ en toda la gama de $x$ para lo cual el $y_i$ existe. Esto puede lograrse estableciendo

$y_1(x_0) = 1 = y_2'(x_0), \tag 7$

y

$y_1'(x_0) = 0 = y_2(x_0); \tag 7$

entonces

$W[y_1, y_2](x_0) = 1, \tag 8$

de donde

$\forall x, \; W[y_1, y_2](x) = 1, \tag 9$

siempre y cuando el $y_i$ satisfacen (1) con las condiciones establecidas en $x_0$ .

Nota añadida en la edición, el viernes 19 de abril de 2019 a las 8:41 AM PST: La ecuación (1) es en realidad un caso especial de la ecuación más general de segundo orden

$y'' + b(x)y' + a(x)y = 0; \tag{10}$

informática

$W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 \tag{11}$

utilizando

$y_i'' = -b(x)y_i' - a(x)y_i, \; i = 1, 2, \tag{12}$

encontramos que en lugar de (5) obtenemos

$W' = y_1(-b(x)y_2' - a(x)y_2) - (-b(x)y_1' - a(x)y_1)y_2 = -b(x)y_1y_2' + b(x)y_1'y_2$ $= -b(x)(y_1y_2' - y_1'y_2) = -b(x)W; \tag{13}$

la solución de esta sencilla ecuación lineal homogénea de primer orden para $W(x)$ es bien conocido por tomar la forma

$W(x) = \exp \left ( \displaystyle -\int_{x_0}^x b(s) \; ds \right ) W(x_0), \tag{14}$

por lo que vemos que $W(x)$ no será en general constante. En efecto, si $W(x)$ es una constante, de modo que

$W(x) = W(x_0), \; \forall x \in I, \tag{15}$

entonces

$\exp \left ( \displaystyle -\int_{x_0}^x b(s) \; ds \right ) = 1, \; \forall x \in I, \tag{16}$

lo que implica que

$\displaystyle \int_{x_0}^x b(s) \; ds = 0, \forall x \in I; \tag{17}$

si $b(x)$ se supone continua podemos diferenciar esta ecuación para obtener

$b(x) = 0, \forall x \in I, \tag{18}$

que muestra que $W(x)$ es constante si y sólo si $b(x)$ desaparece. Fin de la nota.

Answer 2

Deberías haber comprobado que la Wronskiana es constante ya que el coeficiente del primer término de la derivada es cero.

Después, sólo es cuestión de reescalar una o ambas soluciones para conseguir que el determinante de Wronski tenga el valor 1 en uno y, por tanto, en todos los puntos.

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( Añadir ) Interpretando el término "fundamental" en "sistema de soluciones fundamentales" de forma más estricta, significa que en algún momento $x_0$ tiene valores iniciales $$ \pmatrix{y_1(x_0)&y_2(x_0)\\y_1'(x_0)&y_2'(x_0)} =\pmatrix{1&0\\0&1} $$ para que no sea necesario un reajuste.