¿Por qué los límites nos dan el valor exacto de la pendiente de la línea tangente?

Question

Los límites nos dicen cómo se comportan las funciones en $x\to a$ , no cómo se comportan en $x = a$ . Sin embargo, en los límites conectamos $x = a$ como una aproximación de $x\to a$ , así que: ¿por qué los límites nos dan el valor exacto de la pendiente de la línea tangente, a pesar de ser solo una aproximación de lo que sucedió alrededor de $x$ ?

Answer 1

Creo que yo entiendo de donde vienes. Tuve la misma reacción! De la tangente a las líneas deben existir independientemente de límites y derivadas. Así, cuando construimos la recta tangente a través de la derivada, debemos ser capaces de comprobar que es correcta.

Creo que los dos estamos mal tangente líneas no rigurosamente existen independientes de los derivados. Hay demasiados casos de borde y dificultades cuando se intenta definir en ellos, así que tampoco terminar con 1) no hay una definición, que no nos da ninguna manera rigurosamente comprobar que la derivada es correcta; o 2) que el uso de la derivada como nuestra definición.

Para ver las dificultades que conlleva, considere la posibilidad de $f(x)=x^3$. Vamos a llamar a la línea tangente $\ell$, tangente a $x_0$.

Queremos, por supuesto, para $\ell$ a touch $f$ a $x_0$. Pero queremos que lo haga SÓLO una vez en un pequeño barrio. Así que tal vez podríamos usar esto como la definición de una línea tangente.

Sin embargo, la secante líneas también se ajustan a esta definición! Lo que no puede ser correcta. Para solucionar esto, tal vez podemos señalar que en el lado derecho de la $f$, la línea tangente es siempre por debajo de la curva en un pequeño barrio, y en el lado izquierdo, arriba, y en $x_0=0$, la línea tangente es llano. Tal vez se podría restringir la línea tangente a acatar el presente-de abajo a la derecha, arriba a la izquierda, tv de en medio-y que la enmienda hacer de nuestra definición.

Y que iba a funcionar, supongo. Pero es un feo a trozos definición, y, lo que es más importante, no generalizar. A decir de donde la recta tangente debe ser 'arriba' o 'abajo' se usa el concepto de concavidad, que necesitamos derivados. Por lo tanto, podemos definir rigurosamente la tangente a la línea sin derivados de $x^3$, pero no en general.

La línea tangente es un juego aparentemente concepto difícil de definir. No hay (que yo sepa) una definición generalmente aceptada, además de los derivados que podemos utilizar para verificar que los derivados dar los resultados correctos. Siempre puede comprobar para cada problema individual que usted venir a través echando un vistazo por lo que la recta tangente debe ser, pero en general es difícil.

Answer 2

Una línea-por-línea de corrección de OP que debe responder a las confusiones en el mismo:

(1) los Límites que nos diga cómo una función se comporta cercanas $x=a.$ La función no tiene que ser definido en $a.$ Si también se define allí, y que coincide con el límite, el límite además sucede que nos diga lo que está pasando en $a,$ contrario a su primera frase. Pero la cosa importante a tener en cuenta es que los límites que nos diga cómo una función se comporta en el barrio de cierto punto de su dominio.

(2) De arriba, se deduce que el $f(a)$ no tiene que existir en todo en orden para $\lim_{x\to a}{f(x)}$ a existir. De hecho, incluso si $f(a)$ existe, no necesita coincidir con el valor de limitación. En esencia, la limitación de los valores no tienen nada esencialmente que ver con los valores. Pero en los casos donde $\lim_{x\to a}{f(x)}$ existe y coincide con $f(a),$ podemos usar este hecho para evaluar el valor de limitación, pero no es la forma de una aproximación. No hay nada acerca de aproximaciones aquí. Las condiciones son todas las igualdades. De nuevo, el punto más importante aquí es que no siempre podemos evaluar los límites, cuando existen, por una sustitución como usted piensa. Esto sólo se aplica a funciones continuas en el punto en cuestión.

(3) que todavía tienen Que entender el concepto de límite correctamente. Es no una aproximación a nada, sino más bien que hacia la que nos aproximada; por lo tanto, por definición, a veces va a trascender toda approximant. Más bien, los límites son una forma de extender las concepciones habituales en el más amplio de los dominios de aplicación, de tal manera que los nuevos objetos correctamente generalizar la edad, es decir, poseen todas las propiedades importantes de los objetos antiguos, y contener a este último como una subclase. En particular aquí, trayendo en la limitación de las operaciones nos ayuda a asignar un sentido definido a algunas secuencias de las aproximaciones que se distinguen de los demás. Tenga en cuenta que mientras que algunos de los términos de estos tipos de secuencia aproximada el valor de limitación, este valor sí es definitivamente no es una aproximación, pero únicamente un valor definido, fijo por esta secuencia (y una hipótesis sobre delimitada, no vacía de subconjuntos de los números reales, que de verdad y sin problemas, extiende el concepto de valor máximo o mínimo de acotado, no vacía de subconjuntos de números). Esta bien definido por el valor de limitación, cuando existe, se ha demostrado muchas veces a lo largo legítimamente (en un sentido que puede ser hecho preciso) ampliar el dominio de aplicación del concepto en estudio. Aquí, se deduce que cada vez que una secuencia de aproximación de laderas converge, podemos elegir a llamar (por un justificado extensión) el límite de una pendiente demasiado, de hecho, la pendiente, definido por la secuencia. Eso es simplemente lo que significa trabajar con números reales. Si no he entendido esta propiedad (técnicamente se llama integridad) entonces no has comenzado a entender los números reales.

Answer 3

Creo que el problema con su forma de pensar es que usted está asumiendo que hay algo que está predefinido por "dios", que es la pendiente en un punto que tiene valor exacto, y estamos tratando de llegar a ella por el proceso de tener un límite, y nunca podremos llegar a ese valor. Pero ese no es el caso. Lo que sí, es que definimos la noción de que la pendiente en un punto , por el proceso de tener un límite. Y lo que alguna vez el valor exacto que sale del límite, es lo que llamamos la pendiente en ese punto.

Supongo que lo que te está molestando, es la noción de un límite que va a aprender en el primer año de cálculo , y sentí lo mismo cuando yo aprenda primero, porque en alguna etapa del problema, decimos que x se aproxima a algún valor de a , entonces a otra etapa que sustituir un valor de x. Pero para entender lo que realmente está pasando, usted tiene que entender la epsilon-delta definición de un límite. ver:https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-definition_of_limit

Answer 4

La idea es que la aproximación se pone mejor y mejor como $x$ se acerca a $a$, y, por así decir, en $x=a$ no es más aproximados.

A continuación, una función en azul, la tangente en verde, y la diferencia en color magenta. Como se puede ver, la diferencia disminuye muy rápidamente cerca del punto de tangencia.

Esto no se logra con una pendiente distinta.

Answer 5

Pensé que me gustaría añadir algo con un énfasis en la geometría de las excelentes respuestas anteriores.

Considere la posibilidad de un punto a a Un punto en un círculo y un punto B en otro lugar en el círculo y dibuja una línea entre los dos. La línea toca el círculo en dos lugares. Tenemos una línea secante. Seleccione otro punto B más cerca de a que de la original B y dibuja otra línea. De nuevo se cruza en dos lugares, la otra secante línea. Iterar a traer los nuevos Puntos de estar cada vez más cerca de nosotros de conseguir más y más secante líneas hasta B es, de hecho, y el resultado de la línea 1) intersecta a la circunferencia en un punto, y 2) es perpendicular al radio a través de A. Tenemos una tangente a nuestro círculo. Podemos asociar una pendiente a la línea correspondiente.

Para muchas curvas, podemos asociar un círculo tangente, cualquier círculo que pasa a través de la curva en un solo punto. A continuación, la pendiente de la línea tangente a la circunferencia es la pendiente de la línea tangente a la curva. Tenemos la pendiente de una línea tangente sin cálculo.

Considere la parábola $y=x^2$. Vamos a crear un círculo que se intersecta en un solo punto.

$(x-a)^2+(x^2-b)^2=r^2$

$x^2+a^2-2ax+x^4+b^2-2bx^2=r^2$

$x^4+(1-2b)x^2-2ax+(a^2+b^2-r^2)=0$

¿Bajo qué condiciones esto sólo tiene una solución en la parábola?

Estoy pensando dejamos $(x_0, x_0^2)$ ser nuestro punto sobre la parábola. Esto significa que $x_0$ es una solución de nuestro cuarto grado. Queremos una única raíz real por lo que no puede tener 4 raíces complejas. Raíces complejas vienen en pares, así que si tenemos una solución real, debemos tener al menos uno más. Si queremos que sea único, tiene que ser una repetición de la raíz. Así que dividimos el cuarto grado por $x^2-2xx_0+x_0^2$.

Esto produce un cociente de : $x^2 +2x_0x+(3x_0^2-2b+1)$

El resto tiene dos términos, uno lineal y constante.

$$2x(2x_0^3+(1-2b)x_0-a))=0$$ $$3x_0^4+(1-2b)x_0^2-(a^2+b^2-r^2)=0$$

Deje $y_0=x_0^2$. Podemos reescribir las ecuaciones:

$$2x_0(y_0-b)+(x_0-a)=0$$ $$3y_0^2+(1-2b)y_0-(a^2+b^2-r^2)=0$$

Podemos probar sin cálculo que la pendiente de la línea tangente a un círculo en el punto de $(x_0,y_0)$ que está centrada en $(a,b)$ es $-\frac{x_0-a}{y_0-b}$. Así que la primera ecuación nos dice que la pendiente es $2x_0$, el mismo valor que se le da por tener un límite.