Producto del espacio Mrówka y de un punto de compactación del espacio discreto.

Question

Estaba leyendo un artículo y tengo algunos problemas para entenderlo. En primer lugar, la necesaria definición para entender el problema:

Deje $\mathcal{U}\subseteq \{A\subseteq\omega: |A|=\aleph_0 \}$. Decimos que $\mathcal{U}$ es casi la desunión de la familia si para todas las $A,B\in\mathcal{U}$ tal que $A\neq B$ tenemos que $|A\cap B|<\aleph_0$

La prueba de que yo era la lectura es la siguiente:

La parte clave de la prueba de ello es el hecho de que $A$ es un subconjunto cerrado de $X\times Y$. Pero no puedo ver que $A$ sólo se cierra por la construcción de la topología de $X\times Y$. De hecho, creo que necesitamos una gran cantidad de casos para demostrar que la realidad, ya que si tomamos $(a,b)\in (X\times Y)\setminus A$ luego

1. $b=d^{*}$.
2. $a=r_\alpha$ e $b=d_\beta$ con $\alpha\neq\beta$. Aquí, probablemente, tenemos dos subcases porque $\alpha<\beta$ o $\beta<\alpha$.
3. $a\in\omega$ e $b=d_\alpha$ para algunos $\alpha<\mathfrak{c}$
4. $a\in\omega$ e $b=d^*$.

Son todos los casos? O me estoy olvidando de algunos? No sé si mis pensamientos son correctos. Me pueden ayudar a completar la prueba? Realmente agradezco cualquier ayuda me puedes proporcionar.

Answer 1

Supongamos que $(x,y) \notin A$. Si $y \neq d^\ast$, a continuación, $y=d_\alpha$ para algunos $\alpha < \mathfrak{c}$ , mientras que, a continuación, $x \neq r_\alpha$. Pero luego de tomar los barrios $U_x=\{r_\beta\} \cup r_\beta$ (si $x=r_\beta$ para algunos $\beta\neq \alpha$) o $U_x =\{x\}$ (si $x \in \omega$) y $V_y=\{d_\alpha\}$ tenemos que $U_x \times V_y$ también pierde $A$, $V_y$ sólo contiene $y$ así que la única manera en la que confluyen $A$ es al $r_\alpha \in U_x$ cual claramente no es el caso de la construcción.

Para el caso de que $y \neq d^\ast$ ha sido cubierto. Así que supongamos $y=d^\ast$ y necesitamos un barrio de $(x,y)$ que falta a $A$. Si $x \in \omega$ tome $\{x\} \times Y$ claramente que funciona como $A$ no tiene puntos en la primera coordenada en $\omega$, y si $x=r_\beta$ para algunos $\beta$, entonces es fácil ver que $(\{r_\beta\}\cup r_\beta) \times (Y \setminus \{ d_\beta \})$ es abierto básicos y se pierde en $A$ (como el barrio de $r_\beta$ no contiene otros $r_\alpha$ , por definición, sólo $r_\beta$ y algunos puntos aislados en $\omega$).

Sólo una palabra de advertencia:

Lema 2.1 es falso, y $X$ sí es un contraejemplo: $\mathcal{R}$ es cerrado e incontables y discretos para no débilmente Lindelöf. Así que no todo subconjunto cerrado de $X$ es débilmente Lindelöf, por lo $X$ es separable ($\omega$ es denso), pero no cuasi-Lindelöf.

Verdad es: un separable espacio es débilmente Lindelöf. Esto es bastante trivial para probar. La referencia no es de una "adecuada" a diario, por lo que se advirtió...

Teorema 3.37 en la referencia [5] también es falso (ccc implica cuasi-Lindelöf) por el mismo contraejemplo. No creas todo lo que en cada aleatorio diario... creo que este es el origen de este papel del lema 2.1, como no he encontrado un teorema sobre la separables espacios (pero, por supuesto, separables implica ccc).

También: 3.36 en [5] (cada débilmente Lindelöf espacio normal es cuasi-Lindelöf) tiene un ZFC contraejemplo: $C_p(X)$ donde $X$ es el punto de Lindelöfication de un incontable espacio discreto (que puede ser visto de la misma como la $\Sigma$-producto de uncountably copias de $\mathbb{R}$). A continuación, $C_p(X)$ es (collectionwise) normal y es ccc; (que incluso tiene un denso Lindelöf subespacio,) por lo tanto es débilmente Lindelöf, pero tiene un subespacio cerrado homeomórficos a $\omega_1$ y por lo tanto no es cuasi-Lindelöf (la tapa de salida de los segmentos de los testigos que $\omega_1$ no es débilmente Lindelöf). Para más detalles, véase esta entrada de blog, una excelente fuente de ejemplos como estos...

Answer 2

Deje $f:\mathcal R\longrightarrow Y$ ser $f(r_\alpha)=d_\alpha$. $f$ es claramente continua debido a $\mathcal R$, como un subespacio de $X$, es discreta. Ahora, pretendemos que la gráfica de $f=\{\langle r_\alpha,d_\alpha\rangle \mid \alpha<\mathfrak{c}\}$ es cerrado en $\mathcal R\times Y$, que actully sigue de esto primaria teorema f es Continua si y sólo si su Gráfica es Cerrado en