¿Función continua en$[0,1]$ tal que sus ceros forman un conjunto denso de medidas positivas en ninguna parte?

Question

Sé que algunos hechos,

• si $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ es continua, $Z(f) \triangleq f^{-1}(\{0\})$ es cerrado,
• hay funciones continuas cuyos ceros son nada densa,
• no hay ningún lugar densos conjuntos de medida positiva.

A partir de estos hechos, no puedo concluir que si $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es continua y sus ceros $Z(f)$ forma un denso en ninguna parte, este conjunto de $Z(f)$ es de null medida. Podemos probar que es de hecho el caso, o la exhibición de un contra-ejemplo?

Answer 1

Respuesta a la pregunta del título: ¡Sí! Existe tal función. Por ejemplo, considere la función $$f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$$ where $ A$ is the fat cantor set in $ [0,1]$ and $ B$ is any closed singleton set $ \ {b \}$ where $ b \ notin A$. Then $ f$ is continuous whose zero set is $ A$, which is nowhere dense in $ [0,1] $ de medida positiva!

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Edición : la función $x \mapsto d(x,A)$ solo funciona.