Malentendido de la teoría de Sylow

Question

Creo que tengo una mala interpretación de una parte de Sylow de la teoría de grupos o he cometido un gran error en mi razonamiento a continuación.

Tenemos el siguiente lema en Sylow de la teoría:

Deje $G$ ser un grupo finito y deje $P$ ser un Sylow-$p$ subgrupo de $G$. Si $g \in G$ que el orden de $g$ es $p^k$ para algunos $k$, a continuación, $g \in P$.

Ahora consideremos $S_5$, ha pedido a$120 = 2^3 \times 3 \times 5$. Tomar un Sylow-$2$ subgrupo $H$ de $S_5$. Sylow la teoría nos dice que $|H| = 2^3 = 8$. Ahora cualquier $4$-ciclo de trabajo en $S_5$ tiene orden de $4 = 2^2$. Por lo que cualquier $4$-ciclo de trabajo en $S_5$ debe estar contenido en $H$. Pero el número de $4$-ciclos en $S_5$ es $\frac{5!}{(5-4)!4} = \frac{120}{4} = 30$, lo $S_5$ tiene al menos $30$ elementos de orden $4$ todos los cuales deben estar contenidas en $H$ que tiene orden de $8$, una contradicción evidente.

Lo que he hecho mal aquí?

Answer 1

El lema que dijo es falso. Debe ser como esto: si $g\in G$ tiene orden de $p^k$ para algunos $k\in\mathbb{N}$ entonces existe un $p$-subgrupo de Sylow $P\leq G$ tal que $g\in P$. Para que no se diga que un elemento $g$ debe ser en todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$. La versión que usted escribió es cierto si sólo hay un $p$-subgrupo de Sylow.