Buenos ejemplos para mathemathical problemas/declaraciones que son fácilmente solucionable/demostrable en una teoría y de difícil solución/probar en otra

Question

Deje $P$ ser un enunciado matemático o un problema matemático. Estoy buscando un par de niza ejemplos para $P$ que cumplir con los siguientes criterios:

1. Dadas dos (o más) matemática puntos de vista en $P$, nos encontramos con que uno de ellos puntos de vista hace que $P$ fácil de resolver/probar, y el otro hace $P$ duro para resolver/probar.

2. $P$ debe (al menos desde el más fácil del punto de vista) ser comprensible por alguien que estudió matemáticas obtenido los conceptos básicos y tiene una zona tranquila buena comprensión de los problemas matemáticos.

3. No se debe tomar a la cantidad de texto para formular, ya que no tengo mucho tiempo y el espacio para hacerlo.

Sería bueno si el problema es prominente y está bien, si el problema no es pura matemática, sino que debe tener una clara relación con las matemáticas.

Alguna idea? Una breve explicación del problema a partir de los diferentes ángeles es bienvenida y apreciada.

Edit: se me olvidó mencionar que desde diferentes puntos de vista que me refería somethink como mirar a $P$ a partir de una expresión algebraica punto de vista y desde un punto de vista analítico y tal vez de un topológico punto de vista. Quiero señalar las impresionantes propiedades de las matemáticas a la transformación de un problema difícil a otra teoría, donde el problema es fácilmente solucionable.

Answer 1

Yo propongo algo más elementales de la naturaleza.

Paralelogramo de la Ley de La suma de los cuadrados construidos sobre las diagonales de un paralelogramo es dos veces la suma de los cuadrados construidos sobre los dos lados adyacentes de un paralelogramo.

Como lo indica esta es una declaración en la clásica geometría del plano que no es fácil de probar. Si usted está dando una conferencia que usted podría hacer un dibujo en la pizarra y se invita al público a reflexionar un poco sobre ella: estoy bastante seguro de que nadie va a encontrar la solución en un minuto o así.

Ahora, si cambia el punto de vista, moviéndose en la geometría analítica, verás que el problema es resuelto por una totalmente sencillo cálculo: de hecho, vectorizar la imagen (lo siguiente es tomado de Wikipedia)

se ve que usted sólo necesita ampliar las plazas $(x+y)\cdot(x+y)$$(x-y)\cdot(x-y)$, que es un familiar de la tarea a todo el mundo que ha tenido un curso de álgebra básica.

Answer 2

El siguiente teorema es muy fácil de demostrar, utilizando el modelo teórico de herramientas, pero he oído que es muy difícil con sencillas herramientas de análisis:

Deje $f\colon\mathbb{C^n\to C^n}$ ser una función polinómica. Si $f$ es inyectiva, a continuación, $f$ es un bijection.

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Hay una buena clase de teoremas en forzar cuya prueba está claro (si es posible) cuando se aproxima a forzar por posets, mientras que la prueba es inmediata cuando se trabaja con álgebras Booleanas (la finalización de la separación cociente de la poset).

Los siguientes teoremas vienen a la mente de inmediato:

1. Si $M$ es un modelo de ZFC, $M[G]$ es una extensión genérica de $M$$M\subseteq N\subseteq M[G]$, de tal manera que $N$ es un modelo de ZFC, entonces $N$ es genérico más de $M$ $M[G]$ es genérico más de $M$.
2. Si $P$ es no trivial contables obligando a continuación, $P$ es equivalente a un Cohen forzar (no hay una única contables atomless completar álgebra de boole).

Answer 3

El primer número teorema establece que el número de números primos menos de un número real $x$ (denotado por $\pi(x)$ ) puede ser aproximada por $x/\log x$ en el sentido de que $$\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x) \log x}{x} = 1.$$

Ahora, la declaración de este teorema se utiliza el concepto de primalidad y un límite de una función real, por lo que cualquier prueba debe, al menos, el uso de algunos elementales de la teoría de números y básicos de análisis real. Resulta que de hecho, es posible demostrar el teorema de los números primos sólo con estas herramientas básicas (Selberg/Erdős descubierto como una prueba), pero esta prueba es (relativamente) muy difícil.

Fue descubierto varias décadas después de las primeras pruebas fueron encontrados por Hadamard y de la Vallée-Poussin (de forma independiente) en 1896. Ambas pruebas se utiliza el análisis complejo (de hecho, se desarrolló mucho de la teoría de la complejidad del análisis en gran medida con este propósito en mente, recuerdo). Por lo que el teorema de los números Primos es un ejemplo de un teorema que se puede afirmar con sólo primaria de la teoría de números y análisis real, y puede ser comprobado con mucho esfuerzo, con sólo estas teorías, pero es mucho más fácilmente de lo establecido por el complejo de métodos analíticos.

Answer 4

Hay una cantidad no numerable de ecuaciones (por ejemplo,$x^2 = -4$), y para el caso, una cantidad no numerable de problemas que son insolubles cuando se limita a análisis real - , pero que tienen complejo de soluciones. $$i = \sqrt{-1}\;\;\text{ to the rescue, so to speak}.$$

Como nota lateral:
Del mismo modo, un importante avance en las matemáticas se produjo el camino de vuelta en la antigua Grecia, cuando Euclides la conclusión de que no hay manera de calcular la diagonal de un $1\times1$ plaza en términos de la relación de dos longitudes, geométricamente o de otra manera. A partir de esto fue motivado a establecer que no debe existir números de $x$ (por ejemplo,$\sqrt{2}$) tal que $x \notin \mathbb{Q}$. En este caso, $$\mathbb{R} \text{ to the rescue!}\;$$