Por cada$b$ en la potencia$a^{b}$, ¿existe un$a$ tal que la suma de dígitos de esta potencia sea igual a$a$?

Question

$1^0 = 1\to 1 =1$

$x^1=x\to x=x\;\forall x$.

$9^2 = 81\to 8+1=9$

$8^3=512\to 5+1+2=8$.

$7^4=2401\to 2+4+0+1=7$

$46^5 = 205962976\to 2+0+5+9+6+2+9+7+6=46$

$64^6 = 68719476736\to 6+8+7+1+9+4+7+6+7+3+6 = 64$

$68^7= 6722988818432\to 6+7+2+2+9+8+8+8+1+8+4+3+2 = 68$

$54^8 = 72301961339136\to 7+2+3+0+1+9+6+1+3+3+9+1+3+6=54$

$71^9 = 45848500718449031$
$\downarrow$
$4+5+8+4+8+5+0+0+7+1+8+4+4+9+0+3+1 = 71$

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Conjetura:

Dado un entero positivo $b$, existe un entero positivo $a$ tales que la suma de dígitos de $a^b$ es igual a $a$.

Esto puede ser demostrado? No sé cómo demostrarlo; eran alrededor de las 3:45 de la mañana y yo no podía ir a dormir, así que me fui en mi calculadora y desordenado alrededor porque estaba aburrido. Eso es cuando me di cuenta de este fresco de la propiedad y decidí compartirlo aquí.

Ahora es 4:35am así que... me tengo que ir a la cama. Te veo en unas horas y esperemos que tome la hora de trabajar en esto. Lo siento mucho!

Oh, por cierto, también me di cuenta de que la suma de dígitos de $29^5$ es $23$ y la suma de dígitos de $23^5$ es $29$, así que... hay ciclos de aquí. Mismo para $31$ e $34$. También, la suma de dígitos de $13^2$ es $16$ y la suma de dígitos de $16^2$ es $13$. Estos ciclos parecen tener sólo dos números involucrados, pero creo que con respecto a la séptima potencia, hay más de dos implicados (inicio con $72^7$ creo), sin embargo existe también un ciclo entre dos números de la séptima poderes (entre $44$ e $62$). ¿Esta ayuda? No sé.

Tengo que ir a la cama. Buenas noches!

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Gracias de antemano.

Answer 1

Lo siento por tener que poner esto en la sección de respuestas (como no tengo la reputación agregar comentarios todavía), pero esto parece realmente interesante problema. Me di cuenta de con b=2, el valor que se obtiene al cuadrado y añadir los dígitos parece terminar siendo 9 con más frecuencia que la media (los valores que obtuve fueron 1,4,9,7,7,9,13,10,9,1,4,9,16,16, 9, etc). Este puede ser el primer paso. Alternativamente, usted podría graficar los valores de a y b, de modo que la trama (1,1), (2,4), (3,9), (4,7) etc y donde estos puntos caen sobre la recta y=x, se obtiene una solución (para b=2, (9,9)).