$1^0 = 1\to 1 =1$
$x^1=x\to x=x\;\forall x$.
$9^2 = 81\to 8+1=9$
$8^3=512\to 5+1+2=8$.
$7^4=2401\to 2+4+0+1=7$
$46^5 = 205962976\to 2+0+5+9+6+2+9+7+6=46$
$64^6 = 68719476736\to 6+8+7+1+9+4+7+6+7+3+6 = 64$
$68^7= 6722988818432\to 6+7+2+2+9+8+8+8+1+8+4+3+2 = 68$
$54^8 = 72301961339136\to 7+2+3+0+1+9+6+1+3+3+9+1+3+6=54$
$71^9 = 45848500718449031$
$\downarrow$
$4+5+8+4+8+5+0+0+7+1+8+4+4+9+0+3+1 = 71$
Conjetura:
Dado un entero positivo $b$, existe un entero positivo $a$ tales que la suma de dígitos de $a^b$ es igual a $a$.
Esto puede ser demostrado? No sé cómo demostrarlo; eran alrededor de las 3:45 de la mañana y yo no podía ir a dormir, así que me fui en mi calculadora y desordenado alrededor porque estaba aburrido. Eso es cuando me di cuenta de este fresco de la propiedad y decidí compartirlo aquí.
Ahora es 4:35am así que... me tengo que ir a la cama. Te veo en unas horas y esperemos que tome la hora de trabajar en esto. Lo siento mucho!
Oh, por cierto, también me di cuenta de que la suma de dígitos de $29^5$ es $23$ y la suma de dígitos de $23^5$ es $29$, así que... hay ciclos de aquí. Mismo para $31$ e $34$. También, la suma de dígitos de $13^2$ es $16$ y la suma de dígitos de $16^2$ es $13$. Estos ciclos parecen tener sólo dos números involucrados, pero creo que con respecto a la séptima potencia, hay más de dos implicados (inicio con $72^7$ creo), sin embargo existe también un ciclo entre dos números de la séptima poderes (entre $44$ e $62$). ¿Esta ayuda? No sé.
Tengo que ir a la cama. Buenas noches!
Gracias de antemano.
