Es $\mathbb{Z}[x]/\langle 4,x^2+x+1 \rangle$ ¿un campo?

Question

Sé que $\mathbb{Z}[x]/\langle4, x^2+x+1\rangle$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[X]/\langle x^2+x+1\rangle $ . Desde $(\Bbb Z/4\Bbb Z)[X]$ no es un PID, la irreductibilidad/reducibilidad de $x^2+x+1$ no es suficiente para decir si se trata de un campo o no. Mi idea es demostrar que este anillo no es un dominio. Por ejemplo, $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[X]/\langle x^2+x+1\rangle$ no es un dominio si $2$ no está en el ideal $\langle x^2+x+1\rangle$ pero no puedo probarlo.

Answer 1

Sugerencia $ $ Dejemos que $\,h = x^2\!+\!x\!+\!1.\ $ Si $\,2\,$ es una unidad: $\,2 f = 1 + 4g + hh'\,$ en $\Bbb Z[x]\,$ $\overset{\bmod 2}\Longrightarrow\,h\mid 1\,$ en $\,\Bbb Z_2[x]\ \Rightarrow\!\Leftarrow$

Y si $\,2=0\,$ entonces $\,2 = 4g + hh'\,$ así que $\,2\mid h'\,$ por lo que $\,1 = 2g+ h(h'/2)\,$ $\overset{\bmod 2}\Longrightarrow\, h\mid 1\,$ en $\Bbb Z_2[x]\ \Rightarrow\!\Leftarrow$

Answer 2

Sugerencia : $2$ está en $(x^2+x+1){\bf Z}/4{\bf Z}[x]$ si y sólo si para algún $k\in {\mathbf Z}$ tal que $k\equiv 2 \pmod 4$ , $k$ está en $(x^2+x+1){\bf Z}[x]$ .