Supongo que$S:=\mathbb{R}/(-1,1)$ es homeomorfo para$S':=(\leftarrow,-1]\cup\{0\}\cup[1,\rightarrow)$ y para mostrar de alguna manera que$S'$ contiene puntos que no se pueden separar por vecindarios. Otra conjetura es que debería considerar los puntos 0 y 1 o 1 y -1. No estoy realmente seguro de si esta corazonada es correcta o qué debo hacer a continuación (si es que lo es).
Respuesta
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Recordemos que un espacio Topológico $X$ es Hausdorff si por cualquier $x,y\in X$ existen abrir conjuntos de $U,V$ tal que $x\in U$, $y\in V$, y $U\cap V=\varnothing$.
Considerando $\mathbb{R}$ con la topología usual, cualquier barrio de $1$ contiene un punto en $(-1,1)$. Por lo tanto, con el cociente de la topología $\mathbb{R}/(-1,1)$, cualquier barrio de $[1]$ (la clase de equivalencia que contiene a $1$, es decir,$[1]=\{1\}$) contiene $[0]$ (la clase de equivalencia que contiene a $0$, es decir,$[0]=(-1,1)$). Es decir, $[0]$ $[1]$ no puede ser separada por bloques abiertos, y por lo tanto $\mathbb{R}/(-1,1)$ no es Hausdorff.
