Para enteros positivos$m,n$ si$\sqrt 7 - \frac{m}{n} > 0$ entonces demuestre que$\sqrt 7 - \frac{m}{n} > \frac{1}{{mn}}$

Question

Para enteros positivos$m,n$ si$\sqrt 7 - \frac{m}{n} > 0$ entonces demuestre que$\sqrt 7 - \frac{m}{n} > \frac{1}{{mn}}$.

Answer 1

Por condición,$7n^2 > m^2$. El cuadrado de un número entero cuando se divide por 7 partes puede darse en solo 0, 1, 2 y 4. Por lo tanto, ninguno de los números$m^2+1$,$m^2+2$ no es divisible por 7, donde$7n^2\ge m^2+3$. Luego$n\sqrt7\ge\sqrt{m^2+3}\ge\sqrt{m^2+2+\frac1{m^2}} > m+\frac1m$ en$m > 1$, así que$\sqrt7-\frac{m}n > \frac1{mn}$.

El caso$m=1$ es inmediatamente obvio, pero también puede notar que, en este caso, hay una verdadera desigualdad estricta$7n^2 > m^2+3$.

Answer 2

Lo he intentado así. Primero deje que,$\sqrt 7 n = i + f$ donde$i = \left\lfloor {\sqrt 7 n} \right\rfloor $ y$f = \left\langle {\sqrt 7 n} \right\rangle $. Deje$m = i - p$ donde$p \in \mathbb{Z}$ tal que$1 \leqslant m < \sqrt 7 n$. Así que tenemos que probar,$\sqrt 7 mn > {m^2} + 1$, es decir,$\left( {i + f} \right)\left( {i - p} \right) > {\left( {i - p} \right)^2} + 1 \Rightarrow \left( {i - p} \right)\left( {f + p} \right) > 1$, lo que obviamente es cierto para$p\ge1$. Para$p=0$ y$n\ge 4$,$\left( {i - p} \right)\left( {f + p} \right) > 1$ porque en este caso$\left\lfloor {\sqrt 7 n} \right\rfloor \geqslant 10$. Para$p=0$ y$0<n<4$ tenemos que simplemente verificar la desigualdad.