¿Cómo entender la definición de conjuntos en la teoría del tipo de homotopía y el papel de la univalencia?

Question

Tengan paciencia conmigo, soy un físico.

En homotopy tipo de teoría, como yo lo entiendo, un tipo de $X$ es un conjunto si todos los morfismos sobre sus términos $x:X$ se identica. Cuando digo "morfismos", entonces puedo ver el término como objetos de una categoría, por lo que yo interpreto de la siguiente declaración:

"Por definición, una categoría $X$ tiene la identidad de cada objeto en cualquier caso, que siendo una de morfismos es un miembro de lo que llamamos $\mathrm{Id}_X(x,x)\subseteq\hom_X(x,x)$. Y si una categoría es descrete (y, por tanto, sólo hay un sin estructura adecuada), a continuación, estos son los únicos morfismos de encontrarse en la categoría. A partir de un tipo de teoría de la perspectiva, podemos sintácticamente forma $\mathrm{Id}_X(x,y)$, con categóricamente $\mathrm{Id}_X(x,y)\subseteq\hom_X(x,y)$, y si hay un plazo $\mathrm{p}$ (a prueba) por $\mathrm{p}:\mathrm{Id}_X(x,y)$, entonces es habitados y verdadero, como una proposición, es decir,'$x=y$'."

Ahora, a partir de esto, me gustaría definir "$X$ es un conjunto $\Longleftrightarrow$ para todos los elementos de a $X$, su homs son las identidades, en el mejor": $$\forall (x,y\in X).\ \hom_X(x,y)=\mathrm{Id}_X(x,y).$$ es decir, en el dependend tipo/fibrations lingua $$\mathrm{isSet}(X):=\Pi_{x,y:X}.\ \hom_X(x,y)=\mathrm{Id}_X(x,y),$$ De esta manera, la categoría de gotas (trunca?) todos los no-trivial morphsism. Sin embargo, lo que hacen en el libro , al comienzo del capítulo 3 es la redacción $$\mathrm{isSet}(X):=\Pi_{x,y:X}.\ \Pi_ {p,q:\mathrm{Id}_X(x,y)}.\ \mathrm{Id}_{\mathrm{Id}_X}(p,q),$$ que he leído como la declaración sobre la $\mathrm{Id}_X$ bien $\{\}$ o en el mejor de los $\{*\}$. I. e. sólo decir $\hom(x,x)$ debe ser simple. La explicación parece tener que ver con un "sólo uno de los miembros como una proposición de la demanda".

Ahora la pregunta es ¿por qué mi idea de que está mal y cómo interpretar la definición real. El libro en general no usa la palabra hom mucho, y por lo que parece que acaba de empezar con la idea de llamar a todos los morphsims de una categoría $X$ identites - ¿es así? Sino sólo a los senderos, como los mapas de $[0,1]\to X$, no? Es tal vez que el univalence axioma es el ingrediente que hace que la correcta "de morfismos espacios" de los más de tipo teórico tipo de identidad? O ¿HoTT modelo "normal", las funciones sólo a través de mapas $X\Rightarrow Y$ $X,Y$ tipos. Permítanme decirlo de esta manera: ¿Dónde están los normales homs?

Y en cuanto a la interpretación de $\mathrm{Id}_X$ empezar con: debo visualizar, en la categoría de ser un montón de puntos y flechas, uno y el mismo objeto poner en varias veces? E. g. en los gráficos de un NSIN, $\mathbb N$ está "en la categoría más de una vez, para la elaboración de los fines". Siento que necesito para visualizar $X$ esta forma de dar sentido (el vacío) $\mathrm{Id}_X(x,y)$, cuando se $x$ no $y$.

edit: interpretar la HoTT $\mathrm{isSet}$, y descartar la idea, tengo que entender lo que es un general $\mathrm{Id}$ en HoTT es y contiene, y debo contraste a $\hom$ en la categoría de teoría. De hecho, escribí la pregunta como si cada tipo, naturalmente, viene con el $\hom$-concepto, que no es cierto. Es algo evidente para mí ahora, que el tipo general de la teoría de la igualdad y de identidad que configurar no deben ser entendidas como la general de la categoría de marco. Pero al final ellos son capaces de hacer de la categoría general de la teoría, de modo que la pregunta es ¿qué se identifican con lo que. Un amigo mío dice $\mathrm{Cat} = Σ(X:\mathrm{Type}).Σ(\hom : X → X → \mathrm{Type}).(\dots)$ y la pregunta de si $\mathrm{Id}$ "" $\hom$ es una discusión de las categorías, precategories??

Answer 1

Hay varios puntos de vista de HoTT.

El homotópica interpretación de $p:Id_X(a,b)$ (o como el libro que escribe, de $p:a=b$) es que el $p$ es un camino en el espacio de $X$ con extremos de $a$$b$. Nos tienen concatenación de caminos, la construcción de por el camino de la inducción, por lo que de hecho le da una categoría como la estructura per se.
Pero! En general, la asociatividad tiene sólo hasta el siguiente nivel de $Id$. De modo que, si $f:a=b$, $\ g:b=c$, $\ h:c=d$ son rutas de tipo $X$, entonces no tenemos prejuicios igualdad de $(fg)h\equiv f(gh)$, pero sólo un "asociador homotopy' entre los dos caminos $\alpha:(fg)h=f(gh)$.

Esto introduce más categórica de la estructura, a saber: (...(flechas entre) las flechas entre) las flechas.

Además, en esta categoría cada flecha es invertible (hasta el siguiente nivel de $Id$), y una estructura de este tipo se llama un infinito dimensional débil grupoid.

Un tipo de $X$ es contráctiles ($-2$-tipo) si hay un punto que está conectado a todos los otros puntos por el camino: $${\rm isContr}(X):\equiv\ \sum_{x:X}\prod_{y:X}(x=y)$$ Tenga en cuenta que $\ {\rm isContr}(X)\simeq (X=1) $ por el univalence axioma.
Un tipo de $X$ es la proposición ($-1$-tipo) si todos los tipos $x=y$ son contráctiles. Si suponemos que el medio excluido, entonces esto es equivalente a decir que cualquiera de las $X\simeq 1$ (el tipo de punto) o $X\simeq 0$ (el vacío).
Un tipo de $X$ es el conjunto de ($0$-tipo) si todos los tipos $x=y$ son proposiciones. En el homotopy, esto corresponde a la desunión de la unión de contráctiles de los espacios. (Pero, por ejemplo, $S^1$ generado por un punto y un bucle no está configurado.)

Sobre el básico grupoid estructura (de cualquier tipo), se puede definir categorías en HoTT, pero un clásico dimensiones categorías no característica incorporada en el lenguaje, o sólo en parte, digamos. (De hecho, tenemos $(x=y)\to \hom(x,y)$ de (pre-)de la categoría, con la ruta de acceso de la inducción.)

Answer 2

Estoy de nuevo en estas cosas y por lo tanto yo no concesión de la corrección de lo que sigue.

Antes de abordar su principal pregunta me deja insertar un poco de material para explicar el contexto en el que tenemos que trabajar.

Homotopy tipo de teoría es sólo un intensional dependiente del tipo de teoría donde la semántica llevará a cabo en $(\infty,1)$-categorías, es decir, en el contexto de homotopy teoría.

La idea es que en HoTT los tipos debe ser interpretado como el espacio de una agradable categoría de los espacios (por ejemplo,$\mathbf{SSet}$) en lugar de conjuntos.

Ya que es un dependiente del tipo de teoría, que se puede definir el concepto de categoría en su idioma, así como un plazo de tipo especial. Básicamente una categoría asciende a:

• un tipo de objeto $\mathbf C$;

• un tipo dependiente $\hom_{\mathbf{C}} \colon \mathbf C \times \mathbf C \to \mathbf{Type}$;

• algunos términos: $${c} \colon \prod_{x,y,z \in \mathbf C}\left(\hom_{\mathbf C}(y,z) \rightarrow \left(\hom_{\mathbf C}(x,y) \rightarrow \hom_{\mathbf C}(x,z)\right)\right)$$(una composición de operación) $$\text{id} \colon \prod_{x \in \mathbf C} \hom(x,x)$$ (identidad de la operación) $$a \colon \prod_{x,y,z,w \in \mathbf C} c_{x,z,w} \circ (1_{\hom(z,w)} \times c_{x,y,z})=c_{x,y,w} \circ (1_{\hom(z,w)}\times c_{x,y,z}) $$ (una asociatividad testigo) $$\text{l} \colon \prod_{x,y} c \circ (\text{id}_{y},1_{\hom(x,y)}) = 1_{\hom(x,y)}$$ $$r \colon \prod_{x,y} c \circ (1_{\hom(x,y)},\text{id}_x) = 1_{\hom(x,y)}$$ (testimonio de la izquierda y la derecha de identidad).

Los modelos de esta estructura en la semántica $(\infty,1)$-categoría interna de las categorías de objeto y se llama precategories.

Las categorías son las pre-categorías no son sólo los tipos, pero son tipos estructurados.

En homotopy tipo de teoría, usted puede construir fácilmente un montón de categorías, a saber para cada tipo de $X$ hay una categoría que tiene

• el tipo de $X$ como tipo de objetos;
• el tipo de identidad $\text{Id} \colon X \times X \to \mathbf{Type}$ como $\hom_{X}$ tipo dependiente (para morfismos)
• algunos de los términos que jueguen el papel de la composición, la identidad y el testimonio de la asociatividad y a la izquierda y a la derecha de la identidad.

Desde el punto de vista semántico desde $X$ se interpreta como un espacio y el tipo de identidad $\text{Id}$ se interpreta como el espacio de las rutas en las $X$ esta categoría asociado con el espacio de $X$ no es nada más que la fundamental groupoid de $X$. Esto puede ser probado en la norma para los tipos de identidad.

Que dijo que si todavía estoy a la derecha de los diversos axiomas de HoTT debe implicar que todas las $\infty$-groupoid (es decir, un interno de la categoría en la que todos los morfismos son invertible) es fundamental groupoid de espacio.

Ahora, de vuelta a el principal problema en la definición de los tipos de identidad.

Grupos deben ser de los tipos (o espacios) que son contráctiles, es decir, cuya fundamental groupoids es un discreto.
Esta propiedad se expresa en el tipo de teoría que requieren $$\mathbf{isSet}(X)\colon =\prod_{x,y \colon X} \prod_{p,q \colon \text{Id}_X(x,y)} \text{Id}_{\text{Id}_X}(p,q)$$ eso significa que todos los caminos paralelos (los morfismos de la fundamental groupoids) (homotopically) igual.

Su solicitud es uno más fuerte: se requiere que para un conjunto para ser un tipo (es decir, un espacio) de tal manera que no hay dos términos (puntos) es igual a (es decir, conectado por un camino). Esta en homotópica semántica puede ser reformulado como el requisito de que todos los componentes de la ruta deben ser únicos y que no es un homotópica de la propiedad: por ejemplo, " $\mathbb R$ es homotopy equivalente a la punta de espacio $\{\bullet\}$, por lo que tiene una componente de la ruta, sin embargo no tiene sólo un punto, pero una cantidad infinita.

Ahora un último comentario que la interpretación de $\hom_X$ anterior parece mal: un tipo no es una categoría (categoría está dada por la estructura descrita anteriormente). Por tanto, no tiene sentido hablar de la $\hom_X$ menos que su considerando fundamental groupoid asociados al tipo de $X$, en cuyo caso $\hom_X=\text{Id}$, por definición.

Espero que esto ayude.