¿Por qué usamos variables ficticias en integrales?

Question

Quiero saber por qué utilizamos variables ficticias en integrales?

Answer 1

Tengan paciencia conmigo.

Imaginemos que queremos modelar una función que represente la cantidad de cajas que una fábrica produce por hora. La entrada, por supuesto, sería número de horas, y la salida sería número de cajas. Ahora, necesitamos nombrar nuestra función, porque no queremos seguir refiriéndonos a la función por su definición, ya que eso llevaría mucho tiempo. Llamémosla Efficiency.

Entonces, $\text{Efficiency}(\text{número de horas)} = \text{número de cajas}. \tag1$

Podríamos hacer cosas con esta función. Podemos diferenciarla para optimizarla, o integrarla para encontrar los valores promedio, o cualquier cosa en medio.

Por supuesto, esto lleva tiempo, ya que la función en $(1)$ es tediosa de escribir. Podemos introducir otras variables, como $f$ para el nombre de nuestra función, $t$ para nuestro tiempo (en horas) y $y$ para la salida (en cajas).

Ahora, $(1)$ es equivalente a $$f(t) = y.$$

Pero mira, realmente no cambiamos nada. Nuestra función sigue modelando el problema original de la misma manera exacta. Las variables son solo abreviaturas. Las abreviamos por conveniencia.

Supongamos ahora que la fábrica produce diferentes tipos de cajas. Podríamos llamar a estos nuevos tipos de cajas $y$ también, pero eso sería bastante confuso. El mismo razonamiento está detrás del uso de variables ficticias en integrales definidas.

Cuando introducimos variables ficticias en integrales, simplemente lo hacemos por conveniencia. El significado detrás del álgebra no cambia el problema original; simplemente lo hace más agradable de analizar.

Answer 2

Interpretaré la pregunta como

¿Por qué no estamos utilizando el original en lugar de una variable ficticia?
¿Por qué usar $\int_0^xf(x')dx'$ y no $\int_0^xf(x)dx$?

(Si este es el caso, por favor aclara tu pregunta con una edición marcada (!), otros lo interpretaron de manera diferente.)

Porque tiene un significado diferente y hay un problema con cómo definirlo.
Para mostrar la diferencia definamos

$$g(x):= \int_0^xf(x,x')dx'$$ para algún $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto f(x,y)$ continuamente diferenciable con respecto a ambos argumentos (ser solo continuo en lugar de diferenciable sería suficiente).

Ahora calculemos

$$\frac{dg(x)}{dx}= \frac{d}{dx}\int_0^xf(x,x')dx' =f(x,x) +\int_0^x\frac{df(x,x')}{dx}dx' =f(x,x) + \int_0^x f_1(x,x')dx',$$ donde $f_1$ significa la primera derivada parcial de $f$.
La parte derecha sucede, porque la parte interna de la integral dependía de la variable externa $x$.
Entonces $\int_0^xf(x,x')dx'$ significa algo diferente de $\int_0^xf(x',x')dx'$

Esta es la razón por la cual $$\int_0^xf(x,x)dx$$ es algo no bien definido.

Answer 3

Porque la integral definida depende solo de la función y los límites de integración. Por lo tanto, escribir $\int_{a}^{b} f(x)dt$, $\int_{a}^{b} f(t)dt$, $\int_{a}^{b} f(s)ds$ no hace ninguna diferencia siempre y cuando $x$, $t$ y $s$ sean "integrados" en tu respuesta final.

Para obtener más información, consulta aquí y aquí (sección 7.2).

Answer 4

Si estás observando algo como una integral de Riemann, estás "sumando piezas". Necesitas alguna manera de llevar un registro de qué pieza estás hablando (es decir, de referirte a dónde estás), pero en realidad no tiene nada que ver con el valor de la integral, simplemente es un marcador para que puedas sumar correctamente.

Esencialmente es la misma idea que trabajar con una suma como $a_1+a_2+...+a_n$. Si lo escribimos como $\sum_{i=1}^n a_i$, introducimos una variable, $i$ para poder referirnos a un artículo en particular ($a_i$ en este caso) mientras recorremos la suma. Pero usar $i$ es arbitrario.

La variable podría ser cualquier cosa (siempre que no sea una variable que ya estés usando), es efectivamente una conveniencia contable: una variable dummy.

Answer 5

En principio, no necesitamos las variables ficticias en una integral de una función $f$ como $\int f(x) dx$; es solo una convención histórica. Por definición, una función es una regla de cálculo con dominio y contradominio fijos, por lo que no sería ambiguo si uno escribiera $\int f$ en lugar de $\int f(x) dx$ o $\int_a^b f$ en lugar de $\int_a^b f(x) dx$. La notación con $dx$ es bastante conveniente si se quiere escribir la expresión debajo de la integral en lugar del nombre de una función, pero eso también se podría hacer aplicando la notación $\int f$: por ejemplo, si $f(x) = x^2$ o en otras palabras, $f=(x \mapsto x^2)$, entonces $\int x^2dx = \int f = \int (x \mapsto x^2)$. Sin embargo, nunca he visto a nadie escribir $\int (x \mapsto x^2) ; la razón principal es probablemente que los lectores no están acostumbrados a ello (y $\int x^2 dx$ también es un poco más corto).

En realidad, además de la convención y la brevedad al escribir expresiones, puedo pensar en dos razones más.

La primera razón es que a veces las personas abusan de la notación y denotan funciones diferentes con el mismo nombre (letra). Entonces, el nombre de la variable ficticia puede ayudar al lector a resolver cuál función se está refiriendo. Por ejemplo, si las funciones $f$ y $g$ están definidas de manera que $f(b)$ sea el precio de una caja después de que una fábrica de cajas haya producido $b$ cajas y $g(t)$ sea el precio en el tiempo $t$, entonces $f$ y $g$ son en general funciones diferentes, es decir, reglas de cálculo: una convierte el número de cajas en precio y la otra convierte el tiempo en precio. Sin embargo, ambas se pueden utilizar para calcular la misma cantidad física (precio) y no es raro ver a personas denotar ambas con la misma letra a veces escribiendo $p(b)$ para $f(b)$ y a veces $p(t)$ para $g(t)$. En ese caso, $\int p$ es ambiguo, ya que podría significar $\int f$ o $\int g$, pero una expresión como $\int p(b)db$ o $\int p(t)dt$ sugeriría al lector cuál se está refiriendo. (En particular, $\int_0^B p(b)db = \int_0^B f$ es el ingreso total para las primeras $B$ cajas).

La segunda razón es la facilidad de memorización de la regla para el cambio de variables: $\int f(x)dx = \int f(y) \frac{dx}{dy}dy. (Aquí he hecho uso del mismo tipo de abuso de notación que mencioné en la primera razón).