¿Cuándo se sostiene este sistema de congruencias?

Question

Deje $\alpha,\beta,\gamma$ ser cuadrática irracionalidades de la forma $(n\pm\sqrt{n^2-4})/2$ para algunos entero $n$ ( $n$ es diferente para cada uno de los tres números). ¿Cuáles son las soluciones del sistema de congruencias $$\begin{cases}\alpha+\alpha^{-1}+\beta+\beta^{-1}\equiv\gamma+\gamma^{-1}\\\alpha^p+\alpha^{-p}+\beta^p+\beta^{-p}\equiv\gamma^p+\gamma^{-p}\end{cases}\pmod{p}?$$

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En primer lugar, tenga en cuenta que la pregunta está bien definido, y $\alpha+\alpha^{-1}$ e $\alpha^p+\alpha^{-p}$ son ambos enteros. Esto es debido a que

$$\alpha=\frac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}\implies\alpha^{-1}=2\cdot\frac{n-\sqrt{n^2-4}}{n^2-(n^2-4)}=\frac{n-\sqrt{n^2-4}}2,$$ por lo $\alpha,\alpha^{-1}$ son conjugadas. Además, $\alpha^n+\alpha^{-n}=(\alpha+\alpha^{-1})(\alpha^{n-1}+\alpha^{-(n-1)})-(\alpha^{n-2}+\alpha^{-(n-2)})$, y se puede comprobar con facilidad que $\alpha^2+\alpha^{-2}\in\mathbb Z$. Estos dos hechos juntos implica la secuencia de $(\alpha^n+\alpha^{-n})_{n\in\mathbb N}\in\mathbb Z$, y, en particular, $\alpha^p+\alpha^{-p}\in\mathbb Z$. Idéntico argumento de curso muestra la misma cosa para $\beta$ e $\gamma$, así que a pesar de parecer tener extraño irracionalidades en la congruencias, todas las cantidades de que se trate en realidad son números enteros. Así las congruencias son sólo las relaciones normales definidos en $\mathbb Z$.

Naturalmente, empecé a $\alpha+\alpha^{-1}=n_1$, $\beta+\beta^{-1}=n_2$, $\gamma+\gamma^{-1}=n_3$. Luego de la primera congruencia se convierte en un buen $n_1+n_2\equiv n_3$ mod $p$, pero por desgracia la segunda congruencia no tiene representación agradable en $n_1,n_2,n_3$. Así que a menos que me estoy perdiendo algo, este enfoque no puede trabajar. Cualquier pensamiento o parcial de las soluciones sería muy apreciada!

Answer 1

Galois, teoría de campos finitos arroja algo de luz sobre esta cuestión. De hecho, se sigue que el último de la congruencia siempre será una consecuencia de la anterior! Básicamente porque son cada uno de los otros Galois conjugados!

Como se observó $\alpha^{\pm1}=(n\pm\sqrt{n^2-4})/2$ son las soluciones de la ecuación cuadrática $$ m(x)=x^2-nx+1=0. $$ Todo lo que tiene lugar en el ring $R$ de enteros algebraicos de $\Bbb{Q}(\sqrt{n^2-4})$. Desde básico de la teoría algebraica de números podemos inferir que $R$ tiene un primer ideal $\mathfrak{p}$ tal que $\mathfrak{p}\cap\Bbb{Z}=p\Bbb{Z}$. El cociente del anillo de $R/\mathfrak{p}$ es entonces un campo finito $K$. Si $n^2-4$es un residuo cuadrático módulo $p$ entonces $|K|=p$. Pero si $m(x)$ es irreductible modulo $p$ a continuación, $|K|=p^2$.

La idea es que para enteros congruencia modulo $p$ es equivalente a la congruencia modulo $\mathfrak{p}$, y el último puede ser decidido mediante la proyección de todo lo que el cociente de campo $K$.

Si $m(x)$ factores modulo $p$, a continuación las imágenes de $\alpha^{\pm1}$ en $K$ son residuos de las clases de los enteros modulo $p$. Tan Poco de Fermat dice que $\alpha^p\equiv\alpha\pmod{\mathfrak{p}}$ y también se $\alpha^{-p}\equiv\alpha^{-1}\pmod{\mathfrak{p}}.$ En consecuencia $$\alpha^p+\alpha^{-p}\equiv\alpha+\alpha^{-1}\pmod{\mathfrak{p}}$$ y esto implica la misma congruencia de los enteros modulo $p$.

Si $m(x)$ es irreductible modulo $p$ , a continuación, sus ceros en $K$ son Frobenius conjugados de cada uno de los otros. Como los ceros son las proyecciones de $\alpha^{\pm1}$, se deduce que $$ \alpha^p\equiv\alpha^{-1}\pmod{\mathfrak{p}}. $$ La aplicación de la Frobenius de nuevo, a continuación, da la congruencia $$ \alpha^p+\alpha^{p}\equiv\alpha^{-1}+\alpha\pmod{\mathfrak{p}} $$ y hemos terminado repitiendo el argumento anterior.

La conclusión es que la condición de $$n_1+n_2\equiv n_3\pmod p$$ es todo lo que necesita para ambas congruencias de mantener.

Answer 2

Jyrki Lahtonen proporcionado ya una gran solución para el problema, llegando a la conclusión de que $\alpha+\alpha^{-1}=\alpha^p+\alpha^{-p}$ mod $p$ por cada $\alpha$. Creo que he encontrado una manera más fácil de llegar a esta conclusión, a partir de Fermat Poco Teorema.

Fermat Poco Teorema afirma que $x^p=x$ mod $p$ para todos los $x\in\mathbb Z$. A continuación, establezca $\alpha+\alpha^{-1}=n$, y aplicar el teorema de a $n$. Dado que los coeficientes binomiales $\binom{p}{k}$ son divisibles por $p$ para $k=1,2,\dots,p-1$, y los términos de la forma $\alpha^n+\alpha^{-n}$ son integrales, tenemos

$$\alpha+\alpha^{-1}=(\alpha+\alpha^{-1})^p=\alpha^p+\alpha^{-p}+p(...)=\alpha^p+\alpha^{-p}\pmod{p}.$$