¿Cuándo es$x^{2^n}$ denso en$\mathbb{S}^1$, para$|x|=1$?

Question

Motivación: por Lo que acabo de ver esta pregunta: Límite al $n\rightarrow\infty$ $\text{sgn}(\sin(2^n \pi x))$ $x\in(0,1)$ fijo., y la respuesta implica diadic los números y las cosas de la clase. La mayoría de las respuestas implican algunas cosas, como el de la parte fraccionaria de $2^n x$ suponiendo suficientemente muchos de los valores en $(0,1)$ al $x$ no es diadic. Una pregunta natural que surge de esto es "es el conjunto de restos de $2^n x$ es denso en $(0,1)$ al $x$ no es diadic?"

Esta pregunta admite (trivialmente) formas equivalentes:

1. Si $x$ no es diadic, es el conjunto de restos de $2^n x$ denso en $(0,1)$?
2. Si $x$ no es diadic, es $\left\{2^nx+\mathbb{Z}:n=1,2,\ldots\right\}$ denso en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (con topología cociente)?
3. Si $x$ no es diadic, es $\left\{e^{i\pi2^n x}:n=1,2,\ldots\right\}$ denso en $\mathbb{S}^1$?
4. Si $z\in\mathbb{S}^1$ no es un $2^k$-ésima raíz de la unidad para cualquier $k$ $\left\{z^{2^n}:n=1,2,\ldots\right\}$ denso en $\mathbb{R}^1$?

(Por supuesto, me estoy preguntando esto por diadic números, pero la misma pregunta es válida cambiando $2$ por otro número natural, tal vez prime.)

Hay una manera más simple resultado que indica que si $\theta$ es un irracional, a continuación, $\left\{e^{i\pi\theta n}:n=1,2,\ldots\right\}$ es denso en $\mathbb{S}^1$, pero la prueba de que yo sé no es trasladable a este caso.

Answer 1

No es difícil comprobar que el conjunto de las fracciones de los números de $2^n x$ $n\ge 0$ es denso en $[0,1]$ si y sólo si cualquier secuencia finita de $0$ $1$'s aparece en el binario de expansión de $x$ ( lo que es equivalente, cada patrón parece infinitamente a menudo).

Aquí está un ejemplo de un número irracional $x$ para que esto no suceda ya que su binario de expansión no contiene dos consecutivas $1$'s $$x = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n^2}$$

Aquí está una $x$ para que el conjunto es denso en $[0,1]$. Tomar todas las secuencias de longitud $1$, entonces todas las secuencias de longitud $2$ y así sucesivamente y concatenar para obtener

$$x =0.0100011011000001010011...$$

Si $x$ es un número normal ( ver http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number) entonces el conjunto de las fracciones de $2^n x$ es denso ya que todos los patrones de una longitud dada son equiprobables ( la definición de lo normal) y así todos ellos aparecen. De hecho, $x$ normal es equivalente a : la secuencia de las fracciones se distribuyen de manera uniforme en $[0,1]$

Casi todos los números en $[0,1]$ son normales. Se cree ampliamente que todos los algebraicas irrationals (por ejemplo,: $1/\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{2}-1$) y una gran clase de los trascendentales ( por ejemplo,:$\ \pi$, $e$, $\log 2$ ) son normales.