Cualquier curva hiperelíptica nunca es una intersección completa.

Question

Demuestre que cualquier curva hiperelíptica nunca es una intersección completa. Como cualquier curva del género mayor que 1 es hiperelíptica o canónica, creo que podemos demostrar de manera equivalente que cualquier curva del género mayor que 1 que sea una intersección completa debe ser canónica. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Supongamos que la curva$C$ tiene el género$g> 1$ y es una intersección completa de hipersuperficies$X_1,\dots ,X_{n-1}$ en$\mathbb{P}^n$. Calcularemos la gavilla canónica por inducción. Por fórmula adjunta,$$\omega_{X_1}=\omega_{\mathbb{P}^n}\otimes O_{X_1}(\deg X_1)=O_{\mathbb{P}^n}(-n-1)\otimes O_{X_1}(\deg X_1)=O_{X_1}(\deg X_1-n-1)$$ Also $$\omega_{X_1\cap X_2}=\omega_{X_1}\otimes O_{X_1\cap X_2}(\deg X_2)=O_{X_1\cap X_2}(\deg X_1+\deg X_2-n-1)$$ Proceednig like that we get $$\omega_C=O_C(\deg X_1+\dots+\deg X_{n-1}-n-1)$$ Since $ \ deg \ omega_C = 2g-2> 0$ the expression $ \ deg X_1 + \ dots + \ deg X_ {n-1} -n-1$ must be positive so the canonical sheaf is very ample and $ C $ no puede ser hiperelíptico.

Answer 2

Como se sugiere en la pregunta, es suficiente para mostrar que, si $C$ es una completa intersección de género mayor que 1, entonces $K_C$ es muy amplio. Deje $i_C: C\hookrightarrow\mathbb{P}^n$ ser el total de la intersección de hypersurfaces de grados $d_1, \cdots, d_{n-1}$. En primer lugar,

Reclamo: Para cualquier $P, Q\in C$, $h^0(C, L(P+Q))=1$.

Prueba: lo que es Equivalente, que es suficiente para mostrar que el sistema lineal $L(P+Q)$ consiste en la constante funciones sólo. Supongamos por el contrario que $f\in L(P+Q)$ no es una constante de la función racional. Escribir $\displaystyle f=\frac{i_C^*g}{i_C^*h}$, $g, h\in\Gamma\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)$ para algunos $m\geq 1$. Los posibles ceros de $i_C^*h$ $P$ o $Q$ o ambos de ellos. Deje $S$ ser un grado $m$ hipersuperficie definido por $h$. A continuación, $S\cap C=\{P\}, \{Q\}$ o $\{P, Q\}$ y por lo tanto por el teorema de Bezout, $|S\cap C|=md_1\cdots d_{n-1}=1$ o $2$. Si $|S\cap C|=1$$d_1=\cdots=d_{n-1}$$C\cong\mathbb{P}^1$, que es de género 0. Si $|S\cap C|=2$$m=2$$d_1=\cdots=d_{n-1}$, en cuyo caso $g(C)=0$, o uno de $d_i=2$$d_j=1$$j\neq i$, en cuyo caso $C$ es isomorfo a una cónica (es decir,$\mathbb{P}^1$), que a su vez tiene género 0. Así que hemos contradicción.

Por Riemann-Roch, \begin{align*} &h^0(C, L(P+Q))-h^0(C, K_C\otimes L(-P-Q))=3-g(C)\\ \Longrightarrow &h^0(C, K_C\otimes L(-P-Q))=g(C)-2=h^0(C, K_C)-2 \end{align*} La última línea es exactamente equivalente a $K_C$ siendo muy amplia.