Cómo probar que $\int_0^1 \exp\left(\frac{4x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{8x^2+1}}\right)\sqrt{\frac{1-8x^2+16x^4}{1+7x^2-8x^4}}dx=e-1$

Question

mostrar que

$$\int\limits_0^1 {\exp \left( {\frac{{4x\sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt {8{x^2} + 1} }}} \right)} \sqrt {\frac{{1 - 8{x^2} + 16{x^4}}}{{1 + 7{x^2} - 8{x^4}}}} dx = e - 1$$

Creo que esto es agradable integral,Este problema es mi china frend me dan de hacerlo en el día de ayer, Pero no puedo demostrarlo. Gracias

yo:vamos a $$u=\dfrac{4x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{8x^2+1}}$$

a continuación, $$du=-\dfrac{4(8x^4+2x^2-1)}{\sqrt{1-x^2}(8x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$$

Answer 1

Tengamos en cuenta que en virtud del cambio de las variables de $y=\sqrt{\frac{1-x^2}{1+8x^2}}$ tenemos $x=\sqrt{\frac{1-y^2}{1+8y^2}}$ y el intervalo de $(0,\frac12)$ se asigna a $(\frac12,1)$ y viceversa. También, $$\frac{1-4x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx=\frac{3(4y^2-1)dy}{(1+8y^2)\sqrt{(1-y^2)(1+8y^2)}}$$

Ahora nuestros integral se puede escribir como \begin{align} &\int_0^1e^{4xy}\frac{|1-4x^2|}{\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx=\\ =&\int_0^{\frac12}e^{4xy}\frac{1-4x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx+\int_{\frac12}^1e^{4xy}\frac{4x^2-1}{\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx=\\ =&\int_0^{\frac12}e^{4xy}\frac{1-4x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx+\int_0^{\frac12}e^{4xy}\frac{3(1-4y^2)}{(1+8y^2)\sqrt{(1-y^2)(1+8y^2)}}dy=\\ =&\int_0^{\frac12}e^{4xy}\frac{1-4x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx+\int_0^{\frac12}e^{4xy}\frac{3(1-4x^2)}{(1+8x^2)\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx=\\ =&\int_0^{\frac12}e^{4xy}\frac{4(1-4x^2)(1+2x^2)}{(1+8x^2)\sqrt{(1-x^2)(1+8x^2)}}dx=\\ =&\int_0^{\frac12}e^{4xy}(4xy)'_xdx=\\ =&\left[\exp 4x\sqrt{\frac{1-x^2}{1+8x^2}}\,\right]_{0}^{\frac12}=\\ =&e-1. \end{align}