Encontrar el período de $f(x) = \sin 2x + \cos 3x$

Question

Quiero encontrar el período de la función $f(x) = \sin 2x + \cos 3x$ . Intenté reescribirla utilizando la fórmula del ángulo doble y la fórmula de adición del coseno. Sin embargo, no obtuve una función fácil. Otra idea que tenía era calcular los ceros y encontrar la diferencia entre los ceros. Pero eso sólo es aplicable si la función oscila alrededor de $y = 0$ ¿correcto? Mi tercera aproximación era calcular los extremos utilizando el cálculo y a partir de ahí derivar el periodo. ¿Alguien tiene otro enfoque? Gracias

Answer 1

Sugerencia

El periodo de $\sin(2x)$ es $\pi$ y el período de $\cos(3x)$ es $2\pi/3$ .

¿Puedes encontrar un punto en el que ambos estén al inicio de un nuevo periodo?

Answer 2

En general, si $T$ es el período de una función $f(x)$ entonces el periodo de la función $f(ax)$ es $\frac{T}{a}$

En general, si dos funciones periódicas $f_1(x)$ & $f_2(x)$ tienen periodos $T_1$ & $T_2$ entonces el periodo de la función $g(x)=f_1(x)\pm f_2(x)$ es L.C.M. (mínimo común múltiplo) de $T_1$ & $T_2$ .

Según su pregunta, los períodos de $\sin2x$ & $\cos3x$ se calculan como $\frac{2\pi}{2}=\pi$ & $\frac{2\pi}{3}$ respectivamente.

Por lo tanto, el período de la función $f(x)=\sin2x+\cos3x$ es L.C.M. de $\pi$ & $\frac{2\pi}{3}$ que viene dada por la fórmula generalizada de L.C.M. de fracciones $$=\frac{\text{L.C.M. (least common multiple) of numerators}}{\text{H.C.F. (highest common factor) of denominators}}=\frac{2\pi}{1}=2\pi$$ Por lo tanto, el período requerido es $2\pi$

Answer 3

$\sin(2x)=\sin(2(x+k\pi))$ y $\cos(3x)=\cos(3(x+l2\pi/3))$ entonces, cuando $k=\dfrac{2l}3$ , $3k=2l=6m$ la función se repite, y el período es como máximo $2\pi$ .

De todos modos, queda por demostrar que no hay un periodo más corto.