Demostrar que la solución de ecuación diferencial está delimitada.

Question

Deje $b(t) \in C^1([0,+\infty))$. Tengo que encontrar una fórmula para la solución de este problema de Cauchy:

$$ \left\{\begin{aligned} x''(t)+x(t)&=b(t) \\ x(0)&=x_0\\ x'(0)&=x_1 \end{aligned}\right. $$ Yo lo he solucionado de esta parte de la pregunta y la fórmula es: $$x(t) = x_0\cos(t)+x_1\sin(t) -\cos(t)\int_0^tb(s)\sin(s)\,ds+\sin(t)\int_0^tb(s)\cos(s)\,ds.$$ Entonces el problema se pide demostrar que si $b(t)$ es acotada y monótona también se $x(t)$ está acotada. También se pide a encontrar un contraejemplo si $b(t)$ es acotada pero no monótono. Me puede resolver la segunda parte por la cosecha, por ejemplo, $b(t) = \cos(t)$ pero no soy capaz de demostrar el primer hecho. He tratado de estimar el $|x(t)|$ pero la única desigualdad que se me ocurren es $|x(t)| \leq |x_0|+|x_1|+2Mt$ donde $M:=\max_{[0,+\infty)}|b(t)|.$

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Con $b\in C^1$ y monótono, el signo de $b'$ es constante. La integración parcial da $$ \ int_0 ^ t \ sin (ts) b (s) ds = [\ cos (ts) b (s)] _ 0 ^ t + \ int_0 ^ t \ cos (ts) b '(s) ds $ $ Así \begin{align} \left|\int_0^t\sin(t-s)b(s)ds\right|&\le |b(t)-b(0)\cos(t)|+\int_0^t|b'(s)|ds \\ &\le|b(0)|+|b(t)|+|b(t)-b(0)|\le 2b^*=2\sup_{s\ge0}|b(s)|. \end {align}

De alguna manera, esta es una versión integral de la prueba de Dirichlet para series.