Subconjunto denso de grupo topológico compacto

Question

Deje $G$ ser un topológicos compactos grupo y $a \in G$. Supongamos $\{a^k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ es denso en $G$. Espectáculo $G$ es Abelian.

Mis pensamientos fueron que para cualquier $x,y \in G$, $x$ está cerca de algunos $a^m$ $y$ está cerca de algunos $a^n$. Desde $a^m$ $a^n$ viaje, esto debe significar $x$ $y$ tiempo de viaje, pero he tenido problemas para hacer este trabajo. Nota: $G$ no es posible que deba compacto para que esto funcione.

EDIT: nueva idea: si por alguna $x,y \in G$ hay secuencias de $(a^{n_k})_k$ $(a^{m_k})_k$ convergentes a $x,y$ respectivamente, entonces a partir de la multiplicación es continua, se llevaría a cabo.

EDIT: creo que he resuelto. La edición anterior proporciona una solución suponiendo la existencia de tales secuencias. No sabemos dichas secuencias existen, pero sí sabemos que tal red existe. Y podemos aplicar la continuidad de la multiplicación por que la neta, y será hecho.

Answer 1

Un estándar de la demanda y de la prueba.

La proposición. Deje $G$ ser un topológico de Hausdorff grupo que contiene una densa abelian subgrupo $H$. A continuación, el grupo $G$ es abelian demasiado.

Prueba. Deje $x,y$ ser arbitraria de los elementos del grupo $G$. Suponga que $xy\ne yx$. Elegir distintos barrios de $O_{xy}\ni xy$$O_{yx}\ni yx$. Puesto que la multiplicación por el grupo $G$ es continua, existen abrir vecindario $O_x', O_x''\ni x$ $O_y', O_y''\ni y$ tal que $O_x'O_y'\subset O_{xy}$$O_x''O_y''\subset O_{yx}$. Desde $H$ es denso en $G$, existen puntos de $a\in O_x'\cap O_x''\cap H$$b\in O_x'\cap O_x''\cap H$. A continuación, $ab=ba\in O_{xy}\cap O_{yx},$ una contradicción.$\square$

El Haudorfness del grupo $G$ es esencial, ya que cualquier (en particular, no abelian) grupo dotado de la antidiscrete topología contiene un grupo cíclico $\{e\}$.