desigualdad de integración

Question

Posible duplicado:
Demostrando desigualdad integral

Supongamos que$f(x)$ es diferenciable en$[0,1]$,$f(0)=0$ y$1\geq f'(x) >0 $

Pruebalo $\displaystyle\left(\int_{0}^{1} f(x)\;dx\right)^2\geq\int_{0}^{1}\left(f(x)\right)^3\;dx$

Lo siento, no tengo idea de comenzar la prueba.

Answer 1

Deje$F(t)=\displaystyle\left(\int_{0}^{t} f(x)dx\right)^2-\int_{0}^{t}\left(f(x)\right)^3dx$, luego$F'(t)=f(t) \left(2\int_{0}^{t} f(x)dx-(f(t))^2\right).$

Deje$G(t)=2\int_{0}^{t} f(x)dx-(f(t))^2$, luego$G'(t)=2f(t)[1-f'(t)]\geq 0,$ para$G(t)\geq G(0)=0.$

Y esto implica que$F'(t)\geq0.$ Por lo tanto:$$0=F(0)\leq F(1)=\displaystyle\left(\int_{0}^{1} f(x)dx\right)^2-\int_{0}^{1}\left(f(x)\right)^3dx.$ $ ¡Se acabó!

Answer 2

Sugerencia: considere$$F(t) = \left(\int_0^t f(x)\, dx \right)^2 - \int_0^t \left(f(x)\right)^3\, dx$ $

Considerar $F'(t) = f(t) G(t)$. Muestra esa $f(t) \geq 0$. Considere$G'(t)$, muestre que$G(t) \geq 0$.