Para la monotonía $f$ si la integral impropia $\int_0^\infty f(x)dx$ converge, entonces $\lim_{x\to \infty}xf(x)=0$

Question

Necesito probar (como escribí en el título): para la monotonía $f$ si la integral impropia $\int_0^\infty f(x)dx$ converge, entonces $\lim_{x\to\infty}xf(x)=0$

¿consejos, por favor? traté de pensar en Cauchy's.....

Answer 1

Para los grandes $x$ $f$ será o bien no negativo o bien no positivo. Por lo tanto, supongamos que WLOG $f(x)\ge 0$ . Entonces es evidente que debe ser monótona decreciente. Obsérvese que como $\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty$ y $f\ge 0$ tenemos $\lim\limits_{t\to\infty}\int_{\frac{t}{2}}^{t} f(x)\,dx=0$ . Entonces, como $f$ es monótona decreciente tenemos $0\le \displaystyle \frac{tf(t)}{2}\le \int_{\frac{t}{2}}^{t} f(x)\,dx\to 0$ en $t\to\infty$ , dando el resultado.

Answer 2

Dejemos que $F(x) = \int_{0}^xf(x)dx$ , Tenga en cuenta que $F'(x) = f(x)$ . Porque $f(x)$ es monótona en $[0,+\infty)$ implica $f(x)$ es, en última instancia, o bien $\lt 0$ o $\gt 0$ después de un punto específico $x_0$ como $x\rightarrow +\infty$ . Por lo tanto, su antiderivada $F(x)$ es, en última instancia, decreciente o creciente para todos los $x \gt x_0$ . Además, como $\int_{0}^{\infty}f(x)dx$ es convergente, entonces $F(x)$ debe ser atado. En resumen, $F(x)$ es, en última instancia, o bien monótona creciente con un límite superior o bien monótona decreciente con un límite inferior en $[x_0,+\infty）$ , donde $x_0 \gt 0$ .

Sin perder la generalidad, suponemos que F(x) es monótona creciente en $[x_0, +\infty)$ implica $f(x) \gt 0$ en $[x_0, +\infty)$ . Por lo tanto, si $lim_{x\rightarrow\infty}xf(x) = d$ , Nota $d \gt 0$ desde $f(x) \gt 0$ y monótona en $[0,+\infty)$ . Por lo tanto, por la definición de límite:

$$\text{There exist X, when } x\gt x_0 \gt X \text{ such that, }|xf(x) - d| \lt \frac{d}{2}\tag{1}$$ La nota (1) implica $$xf(x) \gt \frac{d}{2} \Longrightarrow f(x) \gt \frac{N}{x}\space\space(\text{where }N=\frac{d}{2})\tag{2}$$ También desde $f(x) \gt 0$ (2) implica: $$\int_{x}^{\infty}f(x)dx \gt \int_{x}^{\infty}\frac{N}{x}dx~~(x \gt x_0 \gt X)\tag{3}$$ Nota, $F(x) = \int_{0}^{x}f(x)dx + \int_{x}^{\infty}f(x)dx$ . Desde $\int_{x}^{\infty}\frac{N}{x}dx$ es divergente, Por (3), también lo es $\int_{x}^{\infty}f(x)dx$ que contradicen el hecho de que F(x) es convergente. Por lo tanto, $lim_{x\rightarrow\infty}xf(x) = 0$ .