invex funciones y su utilidad?

Question

Un invex función de $f$ es una función derivable de $\Bbb R^n$ $\Bbb R$que para algunos la función $\eta : \Bbb R^n \times \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ satisface para todos $x, u$, $f(x) - f(u) \geq \eta(x, u) \nabla f(u)$ .

El artículo de la Wikipedia en invex funciones se puede encontrar aquí.

Ya que no hay restricciones en $\eta$, dar un par de vectores $x$$u$, siempre puedo encontrar un vector $z$ de manera tal que el producto escalar de este vector con el vector gradiente en $u$ toma cualquier valor real (suponiendo que el vector gradiente es no degenerada o no acotada). Por lo tanto, la única picadura de esta definición es en los puntos donde el gradiente es $0$. De hecho, cualquier punto fijo es decir, el punto con un gradiente de $0$ debe ser de un mínimo global. Así invex funciones son sólo aquellas funciones que tienen todos los puntos estacionarios como mínimos globales.

He entendido algo?

Answer 1

Es verdad que el si $f$ es invex, entonces cualquier punto fijo es un mínimo global. Otras clases de funciones, tales como convexo y quasiconvex funciones, también comparten esta propiedad, sin embargo.

Sin embargo, un aspecto clave de invex funciones es que la relación va en la otra dirección, también; es decir, si $f$ es diferenciable y todos los puntos estacionarios de $f$ son mínimos globales, a continuación, $f$ debe ser invex. (Véase aquí para una prueba.) Así invex funciones son exactamente la clase de funciones que se comportan como nuestro cálculo estudiantes tienden a pensar que las funciones deben comportarse cuando minimizando: Sólo tienes que encontrar donde $\nabla f = {\bf 0}$, y listo. No hay necesidad para la prueba de mínimos locales o puntos de silla o de maxima o de cualquier otra cosa. :)

Otra de las claves de la propiedad de invex funciones tiene que ver con la Karush-Kuhn-Tucker condiciones. Estos dan las condiciones necesarias para una solución a un problema de programación no lineal de ser óptimo. Invex funciones son la clase de las funciones para las cuales las condiciones KKT son suficientes así como todo lo necesario (asumiendo que estás minimizando), en el sentido de que si el objetivo y las restricciones de la desigualdad son invex y continuamente diferenciable, entonces las condiciones KKT son suficientes. (Las restricciones de igualdad debe ser afín.)

En términos de la pregunta en el título, me gustaría decir que la utilidad de invex funciones se encuentra en estas dos propiedades.

Answer 2

No ha sido, de hecho, cierta controversia sobre la utilidad de invex funciones.

Este artículo es muy interesante, Una visión crítica sobre invexity

Como lo que yo puedo decir, la crítica es justificada, y la definición es vacuo. Por favor, alguien puede demostrar que estoy equivocado por ofrecer un ejemplo concreto de una novela, muy interesante teorema que no puede ser fácilmente demostrado sin utilizar el concepto de invexity!