¿Es posible ser tanto un máximo / mínimo relativo como un punto de inflexión?

Question

Puede alguien encontrar una función $f$ $x$ tal que $f'(x)=0$, $f(x)$ es un pariente max/min y $(x,f(x))$ es un punto de inflexión? En otras palabras, supongamos que usted está usando la derivada segunda de la prueba, a ver que $f''(x)=0$ y, a continuación, tenga en cuenta que es en realidad un punto de inflexión. Se puede concluir que los $(x,f(x))$ no es un pariente del extremo?

Es fácil encontrar un ejemplo donde $f''(x)=0$ y hay un extremo--tome $f(x)=x^4$, pero en ese caso, no hay realmente un punto de inflexión en 0.

Por cierto, estoy abierto a la posibilidad de que un punto de inflexión, no puede ser nunca un extremo, aunque parece que algo debía haberlo descubierto por ahora, de verdad.

Answer 1

Sin duda es posible tener un punto de inflexión, que también es un (local) extremas: por ejemplo, tomar $$y(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 &\text{if }x\leq 0;\\ x^{2/3}&\text{if }x\geq 0. \end{array}\right.$$ A continuación, $y(x)$ tiene un mínimo global en $0$. Además, $y$ es cóncava hacia arriba en $x\lt 0$, y cóncava hacia abajo en $x\gt 0$ (la segunda derivada es$2$$x\lt 0$, e $-\frac{2}{9}x^{-4/3}$$x\gt 0$).

Sin embargo, esta función no cumple sus condiciones originales, ya que el punto crítico en $0$ no es un punto fijo, sino más bien un punto donde la función no es diferenciable.

Pero decir que hemos $f'(a)=0$, $f$ dos veces derivable en un barrio de $a$, e $f(x)$ tiene un punto de inflexión en $a$. Entonces la derivada es creciente antes de $a$ y disminuyendo después, o de lo $f'$ es la disminución antes de $a$, y aumentar después. Eso significa que $f$ no tiene un extremo local en $a$ por la Primera Derivada de la Prueba: en el primer caso, $f'$ es negativo antes de $a$ y también en negativo después; en el segundo es positivo, tanto antes como después. Así que en esta situación, se puede concluir que no es un extremo local.

Answer 2

A partir de la pregunta: "En otras palabras, supongamos que usted está usando la derivada segunda de la prueba, a ver que $f''(x)=0$ y, a continuación, tenga en cuenta que es en realidad un punto de inflexión".

Hoyland, parece que puede estar bajo la impresión de que todos los puntos donde la derivada segunda es $0$ son puntos de inflexión. Eso no es cierto. Por ejemplo, si $f(x)=x^4$,$f''(0)=0$, pero eso no es un punto de inflexión debido a $f''$ no cambios de signos: $f''$ es positivo en ambos lados de $0$. Y aviso que es un mínimo absoluto en el punto. Así que si tu pregunta es si el máximo o el mínimo punto puede ocurrir donde$f''$$0$, la respuesta es "sí". Pero eso no significa que haya un punto de inflexión allí.