Demostrando que la función continua$f:[0,2] \to \mathbb{R}$ como$f(0)=f(2)$,$\exists x \in [0,1]:f(x)=f(x+1)$

Question

Estoy teniendo problemas para formalizar la respuesta a esta pregunta. Cualquier ayuda sería apreciada.

¿Es cierto que para cada función continua$f:[0,2] \to \mathbb{R}$ como$f(0)=f(2)$,$\exists x \in [0,1]:f(x)=f(x+1)$?

Si la función es periódica de grado uno, esto me parece verdadero. Intenté probar por contradicción, suponiendo que$\forall x \in [0,1], f(x) \neq f(x+1)$, pero no pude ir más lejos.

Answer 1

Puede intentar definir una función continua$g : [0,1] \to \mathbb{R}$ como$$ g(x) = f(x+1) - f(x)$ $ y luego usar el teorema del valor intermedio.