¿Es posible topologizar la colección de todas las medidas de Radón en un espacio métrico?

Question

Dado un conjunto $X$ un medida exterior en $X$ es una función $ \mu : \wp (X) \to [0,+ \infty ]$ de tal manera que $ \mu ( \varnothing )=0$ y $ \mu (A) \leq \sum_ {j=1}^ \infty \mu (A_j)$ cuando $A \subset \bigcup_ {j=1}^ \infty A_j$ . Un conjunto $A \subset X$ se dice que es medible si $ \mu (S)= \mu (S \cap A)+ \mu (S-A)$ para todos $S \subset X$ . La colección de $ \mu $ -Sets medibles es un $ \sigma $ -algebra sobre $X$ así que la restricción de una medida exterior $ \mu $ en el $ \mu $ -subconjuntos medibles de $X$ es una medida en el sentido habitual.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico, decimos que una medida exterior $ \mu $ en $X$ es un Medida del radón si

1. $ \mu $ es Borel-regular (es decir, cada Borel establecido en $X$ es medible y, por cada $A \subset X$ hay un conjunto de Borel $B \supset A$ de tal manera que $ \mu (A)= \mu (B)$ );
2. $ \mu (K)< \infty $ por cada $K \subset X$ compacto;
3. $ \mu (A)= \inf\ { \mu (U)\,:\, A \subset U, U \text { open}\}$ para cada $A \subset X$ ;
4. $ \mu (U)= \sup\ { \mu (K)\,:\, K \subset U, K \text { compact}\}$ para cada abierto $U \subset X$ ;

Denota la colección de todas las medidas de Radón en $(X,d)$ por $ \mathcal {R}(X)$ . Decimos que una secuencia $ \mu_n $ en $ \mathcal {R}(X)$ converge débilmente a $ \mu\in \mathcal {R}(X)$ si $$ \lim_ {n \to \infty } \int_Xf\ ,d \mu_n = \int_Xf\ ,d \mu ,$$ para cada $f \in \mathcal {C}_c(X)$ (el conjunto de las funciones continuas $f:X \to \mathbb {R}$ con soporte compacto).

Quiero, si es posible, dotar $ \mathcal {R}(X)$ con una topología tal que la noción de convergencia inducida por ella coincide con la débil convergencia definida anteriormente. Siguiendo la idea dada aquí He intentado lo siguiente:

Para cada uno $f \in \mathcal {C}_c(X)$ , $x \in \mathbb {R}$ y $ \delta >0$ define $$ U_{f,x, \delta }= \left\ { \mu\in \mathcal {R}(X)\,:\, \left | \int_Xf\ ,d \mu -x \right |< \delta \right\ },$$ y considerar $ \scr B$ la colección de todos esos $U_{f,x, \delta }$ 's. Ahora trata de mostrar que

1. $ \scr B$ es una base para una topología de $ \mathcal {R}(X)$ ;
2. Dicha topología tiene la propiedad requerida (su convergencia viene dada por la débil convergencia).

Para mostrar 1., supongamos $ \mu\in U_{f,x, \delta } \cap U_{g,y, \epsilon }$ . Entonces tenemos que encontrar $h \in \mathcal {C}_c(X)$ , $z \in \mathbb {R}$ y $ \varepsilon >0$ de tal manera que $$ \mu\in U_{h,z, \varepsilon } \subset U_{f,x, \delta } \cap U_{g,y, \epsilon }.$$

Siguiendo las definiciones, tengo que $$ \left | \int_X (f-g)\,d \mu -(x-y) \right |< \delta + \epsilon ,$$ por lo tanto $ \mu\in U_{f-g,x-y, \delta + \epsilon }$ pero, no fui capaz de mostrar que $ \nu\in U_{f-g,x-y, \delta + \epsilon } \implies \nu\in U_{f,x, \delta } \cap U_{g,y, \epsilon }$ (Creo que esta elección de $h$ , $z$ y $ \varepsilon $ probablemente esté equivocado).

Y realmente no sé qué más hacer. El enlace de Wikipedia de arriba define dicha topología para la colección de probabilidad medidas (las que tienen $ \mu (X)=1$ ), no las de Radon... ¿Una construcción así falla para las medidas de Radón?

Answer 1

Sólo sé algo de análisis funcional básico, e intentaré responder a la segunda pregunta.

En lugar de $N_{f,x,\epsilon}$ utilicemos $$N_{f,\epsilon}(\nu):= \bigg\{\mu\in \mathcal R(X) : \left| \int_X fd\mu - \int_X f d\nu \right|< \epsilon \bigg\}.$$ $N_{f,\epsilon}(\nu)$ define una vecindad abierta del elemento $\nu\in \mathcal{R}(X)$ .

Ahora quiero decir que $\{N_{f,\epsilon}(\nu)\}$ define un subbase local para el sistema vecinal en $\nu$ es decir $$\mathcal B(\nu) := \{\text { finite intersections of elements from $ \N_{f, \epsilon }( \nu )\} $}\}$$ formarán una base local en $\nu$ .

Comprobamos que esta topología nos dará la convergencia débil definida por los límites.

1. Supongamos que $\lim_n \int_X f d\nu_n = \int_X f d\nu$ para cada $f$ , y que $N_{f_1, \epsilon_1}\cap \cdots \cap N_{f_k, \epsilon_k}\in \mathcal B(\nu)$ . Por la definición de límites, existen $L_i$ de tal manera que para todos los $n\geq L_i$ tenemos $$\left| \int_X f_i d\nu_n - \int_X f_i d\nu\right| <\epsilon_i.$$ Definir $L = \max_{i=1, \cdots, k}\{L_i\}$ , entonces para todos los $n\geq L$ tenemos $\nu_n \in N_{f_1, \epsilon_1}\cap \cdots \cap N_{f_k, \epsilon_k}$ .

2. A la inversa, dada una secuencia $\nu_n$ y para cada $N_{f,\epsilon}(\nu)\in \mathcal B(\nu)$ existe un $L$ tal que para $n\geq L$ tenemos $$\left| \int_X f d\nu_n - \int_X f d\nu\right| <\epsilon,$$ esta es la definición exacta de $\lim_n \int_X f d\nu_n = \int_X f d\nu$ .

Así que ahora la pregunta que uno se hace es, ¿cuándo $\{N_{f,\epsilon}(\nu)\}$ forman una base local en lugar de una subbase. Por lo tanto, dado $N_{f_1, \epsilon_1}(\nu)\cap N_{f_2, \epsilon_2}(\nu)$ ¿existe una función $g$ y un $\delta$ tal que $$N_{g,\delta}(\nu) \subset N_{f_1, \epsilon_1}(\nu)\cap N_{f_2, \epsilon_2}(\nu).$$