¿Cuándo se sostienen las identidades nakanas?

Question

En "Geometría Compleja" por Huybrechts, dice lo siguiente versión de la Nakano identidad en la página $240$:

Deje $X$ ser un Kähler colector y $(E,h)$ un holomorphic hermitian vector paquete en la $X$. Entonces si $\nabla$ es el Chern conexión en $E$: $$\begin{align*}[\Lambda,\bar{\partial}_E]=-i(\nabla^{1,0})^*\end{align*}$$

En la prueba que él parece decir que si, en algunas trivializar la vecindad $U$ $E$ donde$\nabla_E = d+A$,$\nabla_{\check{E}} = d - A$, en lugar de la de $d - A^T$. Asimismo, no del estado que si $E$ se ha trivializado sobre un conjunto abierto $U$,$\bar{\partial}_E = \bar{\partial}$, que creo que sería simplificar la prueba de algo. De hecho creo que tenemos las siguientes:

Deje $X$ ser un Kähler colector y $(E,h)$ un holomorphic hermitian vector paquete. Entonces si $\nabla$ es cualquier conexión en $E$: $$\begin{align*}[\Lambda,\bar{\partial}_E]=-i(\nabla^{1,0})^*\end{align*}$$

No podía encontrar ninguna otra referencia a cualquier otra forma de Nakano identidad (aparte de la de Bochner-Kodaira-Nakano fórmula, que estoy utilizando la Nakano identidad de probar), pero me pareció extraño que la hipótesis de Chern ser utilizado innecesariamente, de ahi mi pregunta:

Me estoy perdiendo algo, o no la versión más fuerte del teorema de mantener realmente?

Answer 1

La versión más fuerte de Nakano identidad que usted ha mencionado no puede ser cierto. Usted escribió

"Sea X un Kähler colector y (E,h) un holomorphic hermitian vector paquete. Entonces, si ∇ es cualquier conexión en el Correo:

$[\Lambda, \bar{\partial}] = -i(\nabla^{1,0})^*$"

Uno puede conseguir una contradicción a esta declaración más general, de la siguiente manera. De hecho, sabemos que la Nakano identidad se mantiene en las Chern de conexión, así que cocinar una nueva conexión mediante la adición a la Chern conexión no trivial de (1,0) formulario con valores en la Final(E) (o con valores en el paquete de sesgar-hermitian endomorphisms de E con respecto a $h$, si usted insiste en la conexión, siendo compatible con $h$). A continuación, puede ver que el lado derecho de la ecuación anterior da dos respuestas diferentes cuando se aplican a la Chern de conexión, y cuando se aplica a la nueva conexión. Espero que esto ayude.