Denominación colectiva de las estructuras algebraicas

Question

Estoy haciendo una tesis sobre varias estructuras algebraicas, principalmente sobre grupos, anillos y módulos (quizás con un toque de álgebras). Sin embargo, tener que teclear constantemente TODAS ellas se vuelve muy tedioso muy rápidamente y además es molesto de leer. Así que mi pregunta es, ¿hay algún nombre colectivo para los 3 (o 4)?

Y con eso también ¿hay algún nombre colectivo para subgrupo normal, ideal y submódulo? Esa es la estructura que hace posibles las estructuras de cociente.

En caso afirmativo, ¿existen referencias al respecto?

Answer 1

En geometría algebraica, existe la noción de a presheaf de grupos abelianos en un espacio topológico $X$ . Para cada conjunto abierto $U$ de $X$ hay asociado un grupo abeliano $\mathcal F(U)$ tal que se cumplan una serie de propiedades.

Pero, por supuesto, también nos interesan las gavillas de anillos y las gavillas de álgebras sobre un anillo. Como muchos de los resultados pueden enunciarse con generalidad, muchos autores se refieren simplemente a una gavilla de "conjuntos con estructura". ¿Quizá sean esas las palabras que buscas?

Sin embargo, no estoy seguro de que "conjuntos con estructura" tenga una definición muy precisa. Suele entenderse como "grupos, espacios topológicos, anillos, álgebras, etc.". Quizá se podría considerar una categoría $\mathscr C$ junto con un functor $F$ en $\textrm{Set}$ y definimos un conjunto con estructura como un par $(A, F(A))$ donde $A$ es un objeto de $\mathscr C$ ?

Answer 2

Desgraciadamente, no existe un nombre colectivo para estas tres estructuras (estilísticamente podría referirse a ellas como "estas estructuras" o "estas tres estructuras") ni tampoco para las ideas similares de subgrupos normales, ideales y submódulos.

Lo que tienen en común es que son magmas o combinación de magmas, ciertos axiomas aplicados a conjuntos, pero eso no te servirá de nada.

Las similitudes de los subgrupos-ideales-submódulos son algo ilusorias. Ideales y submódulos son subgrupos normales debido a la conmutatividad, pero la cercanía de la acción del anillo no tienen contrapartida en el caso de los grupos normales.

Si se incluyen todas las estructuras matemáticas aplicadas a los conjuntos (por ejemplo, incluso los espacios topológicos), se podría llamar a las estructuras "constructos" o "categorías concretas", pero entonces podría haber confusión lingüística al comunicarse con los teóricos de las categorías.