Comprendo que la mayoría de la gente no le gusta las preguntas acerca de Grandi de la Suma, pero yo estaba esperando para pedir más información sobre el razonamiento falla detrás de él y le pregunte si mi prueba en contra de ellos tiene sentido, como que me estoy tomando el análisis real de este año y me estaba preguntando si estoy usando los principios que estoy aprendiendo en la manera correcta.
Esencialmente, la idea errónea de que estoy hablando es el hecho de que Grandi de la suma, que es $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)^n + ... $, es equivalente a $\frac{1}{2}$. Mi prueba en contra de esta afirmación es la siguiente, y es en realidad una prueba que demuestre que la suma no es igual a CUALQUIER número en todos los...
Tomar la secuencia de $s_n = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k$. Es decir, $s_0 = 1, s_1 = 1-1 = 0, ...$ y así sucesivamente. Se puede construir dos subsecuencias de $s_n$: uno de los indexados en términos de $s_n$, y otra la de los impares indexados en términos de $s_n$:
$\{s_{2k}\} = 1,1,1 ...$
$\{s_{2k+1}\} = 0, 0, 0 ...$
Como tal, tenemos:
\begin{align*} \lim_{k \to \infty} s_{2k} &= 1 \\ \lim_{k \to \infty} s_{2k+1} &= 0 \\ \end{align*}
(Por la Larga Teorema) Si la secuencia de $s_n$ es convergente, es decir, tiene un límite de $L$, entonces todos sus subsecuencias son convergentes a $L$. Sin embargo, tenemos dos subsecuencias de $s_n$ convergen diferentes límites, y así llegamos a la conclusión de $s_n$ no es convergente, es decir, el límite no existe.
Podemos señalar los siguientes:
$\lim_{n \to \infty} s_n = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k$
Desde el límite de $s_n$ $n \rightarrow \infty$ no existe, la suma en el lado derecho no converge a un valor.
Como tal, no podemos proponer que $1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)^n + ...$ es igual a un número $S$, ya que implica la suma es convergente, que nos han mostrado es falsa. Por lo tanto, la reclamación $1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)^n + ... = \frac{1}{2}$ no es válido.
Creo que uno de los defectos fatales en la reclamación $1 - 1 + 1 - ... = \frac{1}{2}$ es suponiendo que la convergencia de la serie en el primer lugar, lo que estoy tratando de señalar el uso de algunos de los hechos que actualmente estoy aprendiendo. Es esto una prueba de la correcta?
