Mostrar que el "espacio" $L^p$ para $0<p<1$ no define una norma

Question

¿Por qué el "espacio" $L^p$ para $0

Answer 1

$||(1,0)+(0,1)|| = ||(1,1)|| = 2^{1/p} \geq 2 = 1+1 = ||(1,0)||+||(0,1)||$ donde en el paso crítico utilizamos el hecho de que p es menor que uno. Así que tenemos un contraejemplo a la desigualdad triangular.

Básicamente, la principal razón por la que no son normas es que la bola unitaria no es convexa, lo que significa que puedes elegir dos puntos en la bola unitaria, como (0,1) y (1,0), y trazar una línea entre ellos y tener puntos en esa línea con norma mayor que uno: por ejemplo $||(1/2,1/2)|| = {(2/2^{p})^{1/p}}=2^{(1-p)/p}$ que siempre es mayor que uno si el exponente es positivo (lo cual es cierto si $0

Answer 2

(Aclarando la respuesta de JHalliday)

Veamos que el espacio $L^p$ con $0 viola la desigualdad del triángulo, la cual establece que para cualquier 3 puntos, $A$, $B$, $C$ $$d(A,C) \leq d(A,B) + d(B,C)$$

Tenemos en mente que la distancia entre dos puntos $d(X,Y)$ en un espacio normado está definida como $$d(X,Y)=\|Y-X\|$$ Ahora veamos la desigualdad del triángulo en $L^p$ para los puntos $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(1,1)$ \begin{align} d(A,C) &= \|(1,1) - (0,0)\|_p = \|(1,1)\|_p = 2^{1/p}\\ d(A,B) &= \|(1,0) - (0,0)\|_p = \|(1,0)\|_p = 1\\ d(B,C) &= \|(1,1) - (1,0)\|_p = \|(0,1)\|_p = 1 \end{align}

Ahora simplemente colocamos nuestras distancias en la desigualdad del triángulo y obtenemos

$$ 2^{1/p} \leq 1 + 1$$

Lo cual no se cumple para $p<1$

Answer 3

Si el espacio de medida subyacente es $\mathbb{R}^n$ entonces considera el elemento $(1,0,\cdots,0)$ y $(0,1,\cdots,0)$. Al sumarlos obtenemos $(1,1,0,\cdots,0)$. Al verificar la desigualad del triángulo, se puede notar que no se cumple y por lo tanto no hay una norma definida en $l^p(\mathbb{R}^n)$. Pero este es un ejemplo de espacios $l^p$, donde estamos tomando la norma $p-$ definida como $$ \|x\|_p = \Bigg( \sum_{i=1}^{n}|x_i|^p \Bigg)^{1/p} $$ para $x = (x_1,x_2, \cdots, x_n)$.

Pero la manera real de dar un ejemplo donde la desigualdad del triángulo no se cumpla es la siguiente, donde tomamos elementos de $L^p(\mathbb{R}^n)$:

Sean $A_1$ y $A_2$ dos conjuntos medibles disjuntos que son elementos del espacio de medida subyacente (por esto me refiero al $\sigma-$ álgebra subyacente). Consideremos $f_1 = \chi_{A_1}$ y $f_2 = \chi_{A_2}$, donde $\chi_A$ denota la función indicadora o la función característica. Entonces se puede verificar que para $0 < p < 1$, $$ \|f_1 + f_2\|_p \geq \|f_1\|_p + \|f_2\|_p $$