Recuperar vector $x$ a partir de la matriz $\mathrm{Q}=\mathrm{xx}^H$

Question

Deje que la matriz $Q\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ser conocido. También se sabe que se desprende de $Q=xx^H$ donde $x=[x_1,\ldots,x_n]^T$ $x^H$ es su conjugada transpuesta.

¿Qué es $x$? Cómo recuperar?

Answer 1

Si $Q=xx^H$,$Qx=xx^Hx$. Set $\lambda=x^Hx$; esto significa $x$ es un autovector de a $Q$ en relación al $\lambda$ (la única no autovalor cero).

Por otro lado, si $Q$ se da explícitamente, a continuación, ya que tiene rango uno, usted acaba de tomar un valor distinto de cero de la columna de $y$, y consideran que las $x=\mu y$ algunos $\mu$. Luego de do $Q=xx^H=|\mu|^2yy^H$ y puede determinar $\mu$ (hasta un número complejo de módulo $1$). (Asumiendo $x\ne0$, de curso, o el problema es trivial).

Answer 2

Dado un rango de-$1$ Hermitian matriz $\mathrm Q \in \mathbb C^{n \times n}$, nos gustaría determinar $\mathrm x \in \mathbb C^n$ tal que $$\mathrm x \mathrm x^* = \mathrm Q$$

Desde $\mathrm Q$ es el rango-$1$, sólo uno de sus $n$ autovalores es distinto de cero. Deje $\lambda$ ser este autovalor. Por lo tanto,

$$\mbox{tr} (\mathrm Q) = \lambda + 0 + \cdots + 0 = \lambda$$

Resolver el sistema lineal

$$\left( \mathrm Q - \mbox{tr} (\mathrm Q) \, \mathrm I_n \right) \mathrm v = 0_n$$

podemos obtener una normalizado autovector $\mathrm v \in \mathbb C^n$ correspondiente al autovalor $\lambda = \mbox{tr} (\mathrm Q)$. Por lo tanto, Hermitian matriz $\mathrm Q$ tiene el eigendecomposition

$$\mathrm Q = \mbox{tr} (\mathrm Q) \, \mathrm v \mathrm v^* = \left( \sqrt{\mbox{tr} (\mathrm Q)} \, \mathrm v \right) \left( \sqrt{\mbox{tr} (\mathrm Q)} \, \mathrm v \right)^*$$

Por lo tanto,

$$\mathrm x := \sqrt{\mbox{tr} (\mathrm Q)} \, \mathrm v$$