Cómo mostrar la norma $n$ -es homeomorfo al símplex $n$ -bola

Question

Estoy tratando de mostrar la norma $n$ -es homeomorfo al símplex $n$ -bola.

En este caso, la norma $n$ -viene dado por $$\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}:\sum x_i=1,x_i\geq0\right\}$$ y el $n$ -viene dada por $$B^n=\{x\in\mathbb{R}^n:||x||\leq 1\}$$

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Pista: $\Delta^n$ es convexa, por lo que puede proyectar $\Delta^n$ en una bola $B^n \supset \Delta^n$ con respecto a su centro baricéntrico $c$ .

La proyección $f$ puede describirse como sigue: En primer lugar, obsérvese que, sin pérdida de generalidad $B^n$ puede suponerse centrado en $c$ dejar $r$ denotan su radio. Para cada $p \in \Delta^n \backslash \{c\}$ el rayo de $c$ à $p$ conoce $\partial \Delta^n$ en un solo punto $f(p)$ . Ahora, podemos definir la proyección $$g(p)= c+\frac{r}{\|f(p)-c\|} \cdot (p-c).$$

(Otra pregunta relacionada: Prueba de que los conjuntos abiertos convexos en $\mathbb{R}^n$ son homeomórficas? )

Answer 2

Entonces, ¿por qué $g$ y $g^{-1}$ ¿continuo en la respuesta de @Seirios?

Estos son los principales datos (todo fácilmente verificable)

1. El baricentro $c$ tiene todas sus coordenadas iguales a $1/(n+1)$ .
2. El simplex estándar $\Delta^n$ se incluye en el hiperplano $H=\{x\mid\sum_ix_i=1\}$ .
3. Si $x_{(1)}$ denota la coordenada más pequeña del vector $x$ entonces la aplicación $x\mapsto x_{(1)}$ es continua.
4. La proyección $f\colon B[c,r]\cap H\setminus\{c\}\to\partial\Delta^n$ es $$ f(x) = c + \rho(x)(x-c), $$ donde $$ \rho(x) = \frac{1}{1-x_{(1)}(n+1)}. $$
5. El homeomorfismo $g\colon\Delta^n\to B[c,r]\cap H$ definido como $$ g(x) = \begin{cases} c &{\rm if\ }x=c,\\ c + \frac{r}{\Vert f(x) - c\Vert}(x-c) &\text{otherwise}, \end{cases} $$ es continua en $c$ porque $$ \frac{\Vert x-c\Vert}{\Vert f(x)-c\Vert} = 1 - x_{(1)}(n+1). $$
6. Si $y=g(x)$ entonces $$ 1 - y_{(1)}(n+1) = \frac{r}{\Vert f(x)-c\Vert}(1 - x_{(1)}(n+1)). $$
7. Si $y=g(x)$ entonces $f(y)=f(x)$ .
8. La inversa de $g$ es $$ h(y) = c + \frac{\Vert f(y)-c\Vert}{r}(y-c) $$ (de forma similar a la parte 7, demuestre que $z=h(y)\implies f(z)=f(y)$ .)
9. (Bonificación) $r=\sqrt{1 - 1/(n+1)}$ (no es necesario para completar la prueba.)

Answer 3

En términos más generales, si $X$ tiene forma de estrella, el centro de $X$ es el conjunto $Z$ de todos $c\in X$ tal que, para todo $x\in X$ el segmento $\{(1-\theta)c + \theta x \mid 0\le\theta\le 1\}$ se incluye en $X$ . Desde el $n$ -es convexo, por lo tanto tiene forma de estrella, y su centro es abierto, el Teorema siguiente implica que el $n$ -es homeomorfo al símplex $n$ -bola.

Teorema. Si $X\subseteq\mathbb R^n$ es compacto, tiene forma de estrella y su centro $Z$ tiene un interior no vacío, entonces $X$ es homeomorfo al $n$ -bola $B[0,1]\subseteq\mathbb R^n$ .

Prueba [esbozo].

1. Tras una posible traducción, podemos suponer que $0\in \operatorname{int}(Z)$ . A continuación $X^* = X\setminus\{0\}$ .

2. Por cada $x\in X^*$ defina $\ell_x = \{tx \mid t\ge0\}$ .

3. Ponga $\bar t=\sup\{t\ge0 \mid tx\in X\}$ . Desde $X$ es compacta, se alcanza el sup y podemos definir $$ f(x)=\bar{t}x. $$

4. Se cumplen las siguientes propiedades

   a. $f(x) \in \operatorname{cl}(X)$ .

   b. El segmento de $0$ à $f(x)$ se incluye en $X$ .

   c. $\Vert f(x)\Vert\ge\delta$ donde $\delta>0$ satisface $B[0,\delta]\subseteq Z$ [cf. 1].

   d. Si $z\in X^*$ es tal que $f(x)$ y $f(z)$ definen el mismo rayo, entonces $f(x)=f(z)$ .

5. Supongamos momentáneamente que $f\colon X^*\to\operatorname{cl}(X)$ es continua. Entonces, la función $g\colon X\to B[0,1]$ definido como $$ g(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{x}{\Vert f(x)\Vert} &\text{if } x\in X^*,\\[0.1 in] 0 &\rm otherwise \end{cases} $$ es continua. ( Pista: Supongamos que $(x_i)_{i\ge1}\subseteq X$ converge a $x\in X$ . Demuestre que $g(x_i) \to g(x)$ estudiando por separado los casos $x=0$ y $x\ne0$ . )

6. Demuestre que $g$ es inyectiva. ( Pista: Supongamos que $x\ne y$ y analizar dos casos $\ell_x=\ell_y$ y $\ell_x\ne\ell_y$ . )

7. Demuestre que $g$ es suryectiva. ( Pista: Si $z\in B[0,1]$ , poner $y=\delta z$ y $y=\Vert f(x)\Vert z$ . Entonces $g(y)=z$ . )

8. Concluir que $g$ es un homeomorfismo.

9. Ahora demuestre que $f$ es continua, como sigue:

   a. Sea $(x_i)_{i\ge1}\subseteq X^*$ convergiendo hacia $x\in X^*$ .

   b. Puesto que $X$ es compacto podemos suponer $f(x_i)\to z\in\partial X$ .

   c. Si $f(z)\ne z$ , dejemos que $H$ sea el hiperplano ortogonal a $z$ y $B = H\cap B[0,\delta]$ .

   d. Que $K$ sea el cono con vértice $f(z)$ y base $B$ . Entonces $K\subseteq X$ es una vecindad cerrada de $z$ . Contradicción.

   e. Utilizar que $x_i$ y $f(x_i)$ pertenecer a $\ell_{x_i}$ y $x$ y $f(x)$ en $\ell_x$ para demostrar que $f(x)$ y $f(z)$ pertenecen al mismo rayo $x/\Vert x\Vert$ .

   f. Concluir que $f(x)=f(z)$ [cf. 4. d].