Es la división de la propiedad de la igualdad sólo un caso especial de la multiplicación propiedad?

Question

Mi libro de texto claramente indica que después de la lección en la Transformación de las Ecuaciones: la Suma y la Resta

"Aviso de que la sustracción de la propiedad de la igualdad es sólo un caso especial de la suma propiedad, ya que restando el número c es la misma que la adición de -c".

Pero, después de la próxima lección, que es en la Transformación de las Ecuaciones: la Multiplicación y la División no es equivalente a la instrucción, tales como

La división de la propiedad de la igualdad es sólo un caso especial de la multiplicación de la propiedad, ya que la división por el número c es lo mismo que multiplicar por el recíproco de c.

División es simplemente un caso especial de la multiplicación, con la restricción de no tener 0 en el denominador?

Si es así, ¿por qué no incluir un natural instrucción paralela?

Answer 1

No puedo hablar por los autores, pero mi conjetura es que la relación entre la suma y la resta a veces es sutilmente diferente a partir de que entre la multiplicación y la división, aunque a veces la diferencia es más pronunciada. Por ejemplo, cuando en el trato con las ecuaciones de la división es simplemente multiplicar por la inversa, excepto cuando se divide por $0$. Sin embargo, en el caso de $\mathbb{Z}$$\mathbb{R}[x]$, no son inversos multiplicativos de sólo un par de elementos, mientras que no son inversos aditivos de todos los elementos.

Answer 2

Si el libro no es muy "simétrico" en general, es posible que simplemente se olvidó de él o algo así. Sin embargo, mi conjetura es que el libro está dirigido a los principiantes, y es fácil olvidar que el cero es un caso especial, especialmente cuando se usan variables. Para mí es más fácil de recordar para comprobar cero cuando estoy pensando dividiendo en lugar de multiplicar por el recíproco. Así, supongamos que tengo $$ac=bc.$$ Si me entero de que me puede multiplicar por el recíproco de $c$ me gustaría conseguir $$a=b$$ lo cual no es necesariamente cierto. Sin embargo, si creo que podría dividir por $c$, probablemente voy a recordar que el cero es siempre una excepción y me gustaría conseguir $$a=b\quad\text{or}\quad c=0$$ lo cual es correcto. Por supuesto, usted puede aprender que el cero es una excepción en la multiplica-por-recíproca caso, demasiado, pero creo que la división por cero problema es más profundamente plantadas ya.

Answer 3

Me gustaría escribir que "la sustracción de la propiedad puede ser subsumido bajo la adición de la propiedad, ya que restando $c$ es la misma que la adición de $-c$." ( Un "caso especial" de la suma sería la adición de $1$.)

Ciertamente no es la misma cosa con la multiplicación y la división. Por supuesto, dividiendo por $5$ es lo mismo que multiplicar por ${1\over5}$. Pero uno tiene que tomar las situaciones más complicadas en cuenta. Suponga que $\Phi=\Phi(\ldots)$ $\Psi=\Psi(\ldots)$ son complicadas expresiones que contienen todo tipo de variables y parámetros a jugar un papel de primer orden en el problema en cuestión, y que $c=c(\ldots)$ es otro, tal vez más simple, de tal expresión. A continuación, para todos los valores de las variables ocultas en $(\ldots)$ tiene la validez de las conclusiones $$\Phi=\Psi\quad\Longrightarrow\quad \Phi+c=\Psi+c\ ,\quad \Phi-c=\Psi-c$$ y $$\Phi=\Psi\quad\Longrightarrow\quad c\cdot \Phi=c\cdot \Psi\ ;$$ pero a usted no se le permite hacer uso de $$\Phi=\Psi\quad\Rightarrow\quad {\Phi\over c} = {\Psi\over c}\qquad(*)$$ (lo cual podría resultar en una simplificación de las expresiones involucradas) sin discusión, las circunstancias en que $c$ podría ser cero, y si tales circunstancias podría ocurrir en el caso en cuestión.

Si usas $(*)$ descuidadamente, no obstante, puede suceder diez minutos más tarde que corregir algunas variables en una forma tal que $c$ (ni siquiera aparece en su fórmula más) se evalúa a cero; por lo que para este caso particular la aplicación de la $(*)$ es ilegal, y $1=0$ sigue fácilmente $\ldots$

Answer 4

Respuesta corta: Sí, pero viceversa se aplica demasiado.

Respuesta larga con un poco de filosofía:

Sí, en términos de álgebra y pre-cálculo, la división es un caso especial de la multiplicación si se trata de números reales ($\mathbb R$). Por ejemplo, dividiendo por $2$ es lo mismo que multiplicar por ${1 \over 2}$. Pero, a su vez, también vemos que la multiplicación es un caso especial de la división: la división por $1 \over 2$ es lo mismo que multiplicar por $2$.

EL PUNTO A SEÑALAR$\ \ \ \ $ Tanto a la multiplicación y la división son significativos en sus propios usos. No se cuestiona su existencia, sólo en caso de que usted piensa que la división es sólo un extra operador...

Answer 5

Así que para entender por qué esto debe ser verdad, tenemos que considerar lo que "equivale a" significa en este contexto.

Suponga que usted estuviera hablando con alguien que nunca había oído hablar de la división antes en su vida. ¿Cómo explicar por qué se puede escribir $$\frac{1}{5}=\frac{5}{25}?$$ These fractions are equal precisely because $$25\cdot 1 = 5 \cdot 5.$$ In abstract algebra, this is how we define fractions: the equivalency classes of pairs of numbers $(a,b)$ with $b\no= 0$ under the relation $(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow ad=cb$. (Note: I use the word "numbers" here loosely; see the last paragraph for more info.) We write these pairs $(a,b)$ as $a/b$ or $\frac{a}{b}$ simplemente porque es conveniente.

Así pues, usted quiere saber si la división de la propiedad es un caso especial de la multiplicación de la propiedad. Vamos a ver si es.

Suponga que para el resto de la respuesta que $x\not= 0 $. La propiedad multiplicativa es que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \hspace{10pt}\Leftrightarrow \hspace{10pt}\frac{xa}{b}=\frac{xc}{d}.$$ Primero, vamos a comprobar si eso es cierto, basado en la definición de las fracciones anteriores. $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\hspace{10pt} \Leftrightarrow \hspace{10pt}ad=cb \hspace{10pt}\Leftrightarrow\hspace{10pt} xad=xcb\hspace{10pt} \Leftrightarrow \hspace{10pt}\frac{xa}{b}=\frac{xc}{d}.$$ Bien, me la trago. Ahora, ¿qué acerca de la división de la propiedad? $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \hspace{10pt}\Leftrightarrow \hspace{10pt}\frac{a}{xb}=\frac{c}{xd}.$$ ¿Cómo podemos comprobar si esto es cierto? $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\hspace{10pt} \Leftrightarrow \hspace{10pt}ad=cb \hspace{10pt}\Leftrightarrow\hspace{10pt} axd=cxb\hspace{10pt} \Leftrightarrow \hspace{10pt}\frac{a}{xb}=\frac{c}{xd}.$$ Usted puede ver que esto es exactamente lo mismo. La única diferencia en las pruebas son que $xad=xcb$$axd=cxb$, de modo que las dos propiedades son equivalentes precisamente porque la multiplicación es una operación conmutativa (que es, $ab=ba$ siempre). De hecho, la división de la propiedad supone la multiplicación propiedad también: $$\frac{xa}{b}=\frac{xc}{d}\hspace{10pt}\Leftrightarrow \hspace{10pt}xad=xcb\hspace{10pt} \Leftrightarrow \hspace{10pt}axd=cxb\hspace{10pt} \Leftrightarrow \hspace{10pt}\frac{a}{xb}=\frac{c}{xd}.$$

Nota: Todo esto viene de la idea de un campo de fracciones, que se puede leer en la Wikipedia , si te sientes ambicioso. En definitiva, en cualquier momento usted tiene un conjunto de elementos que pueden ser sumados y multiplicados, donde cada $a,b$ satisfacer $ab=ba$ e tal que no es distinto de cero $a,b$ satisfacer $ab=0$, puede definir las fracciones de ese conjunto que funcionan exactamente igual que lo hacen con números regulares. La palabra para hacer fracciones como esta es la "localización", y se puede hacer con todo tipo de cosas que no sean números, al igual que las funciones, por ejemplo.