Parametrización universal de matrices ortogonales

Question

Sea $k$ sea un campo cuya característica es cero y sea $n\geq 1$ . Digamos que una matriz $M\in {\cal M}_{n\times n}(k)$ es casi ortogonal si $M^{T}M$ es un múltiplo no nulo de la identidad. Denotemos el conjunto de esas matrices por $AO_n(k)$ .

En $n=2$ existe una buena descripción paramétrica de $AO_2(k)$ :

$$ AO_2(k)=\Bigg\lbrace \bigg(\begin{matrix} a & b \\ -b&a \end{matrix}\bigg) \Bigg| (a,b) \in k^2, (a,b)\neq (0,0) \Bigg\rbrace $$

¿Existen fórmulas exhaustivas similares con entradas polinómicas para $n>2$ ?

Answer 1

Hablemos de $SO(n)$ en su lugar. Esto también se hace implícitamente, ya que el determinante de la matriz que has escrito es $a^2 + b^2 \geq 0$ por lo que obviamente no puede parametrizar ni siquiera $O(2)$ que también tiene una componente con determinante negativo. La parametrización completa sería dos copias de $AO_2(k)$ pegado a lo largo de la superficie de determinante cero (si permite que el múltiplo de la identidad sea cero en su definición).

Ahora bien, esto es pura consecuencia de la baja dimensión. $SO(2)$ es un círculo y si se permite $M^TM$ sea múltiplo de la identidad, entonces también se permite que cada matriz de $SO(2)$ multiplicarse por cualquier número, de forma que se obtenga un haz de líneas sobre $SO(2)$ superficie y esto es más o menos sólo parametrización polar del plano que el $SO(2)$ yace dentro. En dimensiones superiores, se obtiene de forma similar un haz de líneas sobre $SO(n)$ . Pero como $SO(n)$ , $n>2$ es una superficie mucho más complicada (como subespacio del espacio de todas las matrices) que un simple círculo, no se puede esperar nada bueno aquí para grandes $n$ .