Cuatro hombres entran en un restaurante y dejan sus paraguas en la puerta

Question

Pregunta:

Cuatro hombres entran en un restaurante y dejan sus paraguas en la puerta. Al salir, cada uno coge un paraguas y al salir descubren que ningún hombre tiene su propio paraguas. ¿De cuántas formas diferentes puede darse esta situación?

Mi lógica: no total - la combinación que cuatro hombres toman su propio paraguas.

La primera: 1/4 de probabilidad de elegir el paraguas de ella. El segundo: 1/3 prob...tercero 1/2...último 1/1

pero parece que mi respuesta no es correcta...

¿Hay alguien que pueda ayudar? La respuesta debería ser 9.

Answer 1

Voy a dar la solución general. Sea $D_n$ sea el número que se quiere contar cuando hay n hombres. Supongamos que el primer hombre (denotémoslo como $m_1$ .) toma el k'th hombres(Vamos a denotar él $m_k$ .) del paraguas.(k será $2,\cdots,n$ . Así que hay que multiplicar $n-1$ al final) Entonces hay dos casos.

(1) $m_k$ toma $m_1$ de los paraguas. (2) $m_k$ toma el paraguas del otro.

Para el primer caso, entonces sólo hay que contar el caso de que ninguno de los restantes $n-2$ los hombres toman su propio paraguas. Es $D_{n-2}$ .

Para el segundo caso, supongamos $m_1$ intercambiar $m_k$ y su propio paraguas. (Nótese que este intercambio no afecta al recuento.) Significa ahora, $m_1$ tiene su paraguas, y ningún otro tiene su propio paraguas. Es $D_{n-1}$ .

Ahora se obtiene la ecuación de diferencia de $D_n$ . $$ D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) $$

Y $D_1=0$ , $D_2=1$ . Voy a omitir cómo obtener el término general de $D_n$ . Puede encontrarlo buscando en Google Derangement .

Answer 2

Los hombres no están en ningún orden. Elige al azar un hombre para que sea el primero.

Hay $3$ posibles maneras de que coja un paraguas que no es suyo. Llamar al hombre cuyo paraguas escoge número de hombre $2$ .

Hay $3$ posibles formas de que el hombre número dos coja un paraguas que no es suyo. $1$ de ellos es elegir el paraguas que es del primer hombre. Y $2$ de ellos es coger un paraguas de otro hombre.

Si coge el paraguas del primer hombre hay paraguas entonces quedan dos hombres y sus paraguas y sólo hay una manera de que los dos hombres restantes puedan coger los paraguas de los demás. Así que hay $3$ formas que pueden ocurrir. (Por ejemplo, el primer hombre tiene tres opciones de paraguas. Todos los demás tienen una sola opción para que esto ocurra).

Si escoge el paraguas de uno de los otros dos hombres, llama al dueño de ese paraguas el tercer hombre. Quedan dos paraguas: El paraguas del primer hombre y el paraguas del último hombre. Para que ningún hombre consiga el suyo, el tercer hombre no puede dejar el paraguas del último hombre para el último hombre, por lo que debe tomar el paraguas del primer hombre. Así que había $3*2$ formas para que esto ocurra. (Tres opciones para que el primer hombre escoja cómo es el segundo, y dos opciones para que el segundo escoja quién es el tercero.

Así que $3 + 3*2 = 9$ formas en total.

Lo son si los hombres son $A,B,C,D$ y sus respectivos paraguas son $a,b,c,d$ .

$Ab,Ba,Cd,Dc$

$Ab,Bc,Cd,Da$

$Ab,Bd,Dc,Ca$

$Ac,Ca,Bd,Db$

$Ac,Cb,Bd,Da$

$Ac,Cd,Db,Ba$

$Ad, Da,Cb,Bc$

$Ad, Db,Bc,Ca$

$Ad,Dc,Cb,Ba$

Answer 3

Consideremos el caso de que el primer hombre obtenga su propio paraguas, esto es posible de 3! maneras. De forma similar para el segundo, el tercero y el cuarto, por lo que cada uno de estos conjuntos contiene ¡3! elementos.

Sin embargo, estos conjuntos se superponen ya que más de un peron puede tener su propio paraguas Por tanto la unión vendrá dada por:

$\binom{4}{1}3!-\binom{4}{2}2!+ \binom{4}{3}1!-\binom{4}{4}$

El número de formas en que 1 o más personas pueden tener su propio paraguas viene dado por la fórmula indicada anteriormente. Dado que el número total de formas en que se pueden distribuir los paraguas es 4, el número de formas en que nadie tiene su propio paraguas es $4!-\{\binom{4}{1}3!-\binom{4}{2}2!+ \binom{4}{3}1!-\binom{4}{4}\}=9$