Cómo probar: $a=x$$b=x^x$$x^{a+b}=a^b b$?

Question

Deje $x, a, b$ números naturales tales que $x^{a+b}=a^b b$. Cómo probar: $a=x$$b=x^x$?

Answer 1

Deje $p$ ser cualquier primer y deje $v$ denotar la valoración correspondiente (es decir, $v(n)=k$ si $p^k\mid n$$p^{k+1}\nmid n$). A continuación, $$\tag1(a+b)v(x)=bv(a)+v(b). $$ Si $v(a)<v(x)$, nos encontramos con $v(b)=av(x)+b(v(x)-v(a))\ge a+b\ge b>v(b)$, contradicción. Por lo tanto,$v(a)\ge v(x)$. Decir, $v(a)=v(x)+\delta$$\delta>0$. A continuación, $(1)$ se convierte en $$ av(a) +(a+b)\delta=v(b)$$ Si $\delta>0$, de nuevo hemos de llegar a una contradicción: $$v(b)=av(a)+(a+b)\delta\ge b\delta\ge b>v(b).$$ Llegamos a la conclusión de $\delta=0$, es decir,$v(a)=v(x)$. Como $p$ fue arbitraria (y $a,x$ son positivas), llegamos a la conclusión de $a=x$, y, a continuación, claramente $b=x^x$.