La condición necesaria y suficiente para que una unidad de elemento en el Dominio Euclídeo

Question

Estoy tratando de demostrar que en Euclidiana dominio D con Euclidiana función de d, u en D es una unidad si y sólo si d(u)=d(1).

Supongamos que u es una unidad, entonces existe v en D tal que uv=1, esto implica que u\1 entonces d(u)<=d(1), pero obviamente 1 divide u lo d(1)<=d(u). Por lo tanto, d(u)=d(1).

Por el contrario, supongamos que d(u)=d(1), ya que la u no es cero, existen q y r en D tales que 1=uq+r con r=0 o d(r)< d(u).

Si r=0 entonces u es una unidad. Otra cosa d(r)< d(u) =d(1), esto implica que d(r)< d(1). Me detengo aquí, porque no pude argumentar que r debe ser igual a cero.

Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

En el texto de su pregunta, debo asumir que su $d$ función satisface $d(x)\le d(z)$ si $x$ divide $z$. (Por CIERTO, esto es lo mismo que decir que $d(x)\le d(xy)$.)

Desde $1$ divide cada elemento, tenemos $d(1)\le d(x)$ todos los $x$. Si $u$ es una unidad, entonces la $u$ divide $1$$d(u)\le d(1)$. Esto implica $d(u)=d(1)$.

Por el contrario, como te han comentado, $1=uq+r$ $r=0$ o $d(r)< d(u)$. Pero si $d(u)=d(1)$, entonces si $r\ne0$ que obtendría $d(r)<d(1)$, lo que contradice $d(1)\le d(x)$ todos los $x$. Por lo tanto $r=0$ $u$ es una unidad.