Encontrar el máximo valor de $8\cdot27^{\log_6 x}+27\cdot8^{\log_6 x}-x^3$

Question

Encontrar el máximo valor de $$8\cdot27^{\log_6 x}+27\cdot8^{\log_6 x}-x^3.$$

Si puedo aplicar AM${}\ge{}$GM, entonces puedo encontrar el mínimo valor de esta expresión, pero no estoy seguro de cómo encontrar el valor máximo.

Answer 1

Sugerencia:

$\log_6x=y,x=6^y$

$$8\cdot 27^y+27\cdot8^y-(6^y)^3=216(3^{3(y-1)}+2^{3(y-1)}-3^{3(y-1)}2^{3(y-1)}-1)+216$$

$$=216-216(3^{3(y-1)}-1)(2^{3(y-1)}-1)$$

Answer 2

demostrar que $$8\cdot 27^{\log_{6}{x}}+27\cdot 8^{\log_{6}{x}}-x^3\le 216$$ and the equal sign holds for $x=6$

Answer 3

Para $x=6$ obtenemos un valor de $216$.

Vamos a demostrar que es un valor máximo.

De hecho, tenemos que demostrar que $$x^3+216\geq8\cdot27^{\log_6x}+27\cdot8^{\log_6x}$$ o $$\left(6^{\log_6x}\right)^3+216\geq8\cdot27^{\log_6x}+27\cdot8^{\log_6x}$$ o $$27^{\log_6x}\cdot8^{\log_6x}-8\cdot27^{\log_6x}-27\cdot8^{\log_6x}+216\geq0$$ o $$\left(27^{\log_6x}-27\right)\left(8^{\log_6x}-8\right)\geq0,$$ which is obvious for $x\geq6$ and for $0<x\leq6.$