Mi pregunta tiene que ver con un detalle en la prueba de lo siguiente:
Sea $\mu$ sea una medida de Borel finita sobre $\mathbb R$ y que $F : \mathbb R\to \mathbb R$ definirse en $F(x) =\mu ((,x]).$ Si $\mu$ es diferenciable en $a$ entonces $F$ es diferenciable en $a$ y $F'(a) = (D\mu)(a)$ donde
$$D\mu(a)=\limsup_{\epsilon \downarrow 0}\left \{ \frac{\mu (I))}{\lambda (I)}: a\in I; |I|<\epsilon\right \}.$$
La prueba es la siguiente:
si $x<a$ entonces $\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\frac{\mu ([a,x])}{\lambda ([a,x])}$ mientras que $\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\frac{\mu ((a,x])}{\lambda ((a,x])}$ si $x>a.$
En el primer caso, tenemos $$D\mu(a)=\limsup_{\epsilon \downarrow 0^-}\left \{ \frac{\mu ([a,x])}{\lambda ([a,x])}: a\in I; |I|<\epsilon\right \}=\lim_{x\to a^{-}}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}.$$
En el segundo caso, queremos afirmar que
$$D\mu(a)=\limsup_{\epsilon \downarrow 0^+}\left \{ \frac{\mu ([a,x])}{\lambda ([a,x])}: a\in I; |I|<\epsilon\right \}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}$$
y el resultado es inmediato.
Pero esto no es del todo correcto porque los intervalos anteriores (cuando $x>a$ ) son $\it{half-open}.$ Ahora es bastante obvio que estos intervalos pueden aproximarse con cualquier grado de precisión deseado considerando intervalos de la forma $[a+1/n,x]$ por lo que estoy buscando una manera rigurosa de trabajar esto en la definición de $D\mu.$ Tal vez en esta línea:
Si $D\mu(a)=d$ entonces para todos $r >0,$ hay un $\epsilon>0$ tal que $\ \left | \frac{\mu([a,x])}{\lambda([a,x])}-d \right |<r$ siempre que $x-a<\epsilon.$ Entonces, para cada número entero $n$ tal que $a+1/n<x$ tenemos $x-(a+1/n)=x-1/n-a<\epsilon$ y luego, $\left |\frac{\mu([a+1/n,x])}{\lambda([a+1/n,x])} -d\right |<r.$ Dado que esto es cierto para todos los números enteros $n$ tal que $a+1/n<x$ el resultado es el siguiente.
Por otra parte, dado que $\mu$ es diferenciable en $a$ debemos tener $\mu (\left \{ a \right \})=0, $ así que tal vez sea tan fácil como observar que $[a,x]=(a,x]\cup \left \{ a \right \}.$
