¿Cuáles son algunos de los ejemplos ilustrativos que muestran cómo $\succ$ pueden diferir en el comportamiento de $>$ y/o $\geq$?

Question

Yo realmente, realmente quiere entender la generalización de la métrica de los espacios conocidos como la continuidad de los espacios. Por desgracia, siempre me sale disparado hacia arriba a la derecha en el comienzo. El problema es que tengo poco o nada de la intuición por el significado de $q \succ p$, lo que aparece como Definición 2.2 en el artículo enlazado. Reformulado siempre tan ligeramente para mejorar la legibilidad, dice:

Definición 2.2. Suponga $V$ es un completo entramado e $q,p \in V$. A continuación, $q$ está muy por encima de $p$, denotado $q \succ p,$ fib para cualquier subconjunto $A$ $V$ si $p \geq \mathrm{inf} \,A,$ $q \geq a$ algunos $a \in A$.

La estructura lógica de la definición es lo suficientemente sencillo, y sin embargo, en una forma puramente intuitiva, lo que yo no "obtener".

Pregunta.

1. En sus propias palabras, ¿cómo se puede entender el significado de $q \succ p$?

2. ¿Cuáles son algunos de los ejemplos ilustrativos que muestran cómo $\succ$ puede diferir de $>$ y/o $\geq$?

Answer 1

No he tratado mucho con el concepto, pero un ejemplo que me parece útil es $\Bbb R^2$ con el producto de orden parcial, $\langle x_0,y_0\rangle\le\langle x_1,y_1\rangle$ fib $x_0\le x_1$$y_0\le y_1$. Entonces no es difícil comprobar que $\langle x_0,y_0\rangle\prec\langle x_1,y_1\rangle$ fib $x_0<x_1$ e $y_0<y_1$.

Consideremos, por ejemplo, el conjunto de $A=\{\langle 2^{-n},2^{-n}\rangle:n\in\omega\}$:

• $\inf A=\langle 0,0\rangle$;
• $\langle 2^{-n},2^{-n}\rangle\not\le\langle 0,b\rangle$ cualquier $b>0$;
• $\langle 2^{-n},2^{-n}\rangle\not\le\langle b,0\rangle$ cualquier $b>0$;
• para cualquier $b,c>0$ hay un $n\in\omega$ tal que $\langle 2^{-n},2^{-n}\rangle\le\langle b,c\rangle$.

Sin embargo, yo prefiero los siguientes doble caracterización de $\prec$, que es la definición que he mayoría de las veces visto.

Deje $\langle P,\le\rangle$ ser de un orden parcial. Si $p,q\in P$, $p\prec q$ fib siempre $D$ es dirigido subconjunto de $P$, e $q\le\sup D$, $p\le d$ algunos $d\in D$.

Si $P$ es una completa red, esto implica que si $p\prec q$, $A\subseteq P$, y $q\le\sup A$, entonces hay un número finito de $F\subseteq A$ tal que $x\le\sup F$. Si $P$ es el entramado de abrir conjuntos de espacio, esto nos dice que un conjunto abierto $U$ está por debajo de un conjunto abierto $V$ si toda cubierta abierta de a $V$ tiene un número finito de la subfamilia cubriendo $U$. Así, por ejemplo, si $P$ es lo habitual en la topología de $\Bbb R$, $(a,b)\prec(c,d)$ siempre $c<a\le b<d$, ya que el $[a,b]$, entonces es un subconjunto compacto de $(c,d)$ contiene $(a,b)$.

Usted puede encontrar algunos de los ejemplos que aquí al menos un poco iluminadora, y este PDF por Grzegorz Bancerek recopila una gran cantidad de datos en un solo lugar, aunque sin pruebas.

Answer 2

Para obtener un contexto más amplio para el bien por encima de la relación que puede consultar cualquier texto introductorio en el dominio de la teoría. Sin embargo, el contexto de la continuidad de los espacios es un poco diferente, y prefiero tener la intuición para Flagg del valor quantales vienen directamente de su función. Así, la forma en que pienso acerca de la anterior relación es que se soluciona un poco desagradable deficiencias que $\le$, incluso en un completo entramado. Como se señaló, $\mathcal P(S)$, el juego de poder de un conjunto, es un completo entramado, $0=\emptyset$. Pero si $A,B>0$, no implica que $A\cap B>0$. Esta es la forma en que los conjuntos de comportarse. Ahora, esto es algo capturados por el bien por encima de la relación en $\mathcal P(S)$; puede ser instructivo para encontrar todos los elementos $A\in \mathcal P(S)$$A\succ 0$.

Flagg da varias más las consecuencias de sus axiomas que muestran cómo el bien por encima de la relación toma el cuidado de las cosas. Por ejemplo, para cualquier $\varepsilon \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que $\delta + \delta \prec \varepsilon $, lo que es muy importante para la métrica de los espacios, ya que es el análogo de la división por $2$, que se utiliza todo el tiempo.

Es bastante fácil ver que, si $P$ es linealmente ordenado, a continuación,$\le=\prec $. De nuevo, $\mathcal P(S)$ es un ejemplo donde el bien por encima de la relación es muy diferente a $\le$. Una clase importante de ejemplos es Flagg $\Omega$ en la construcción. Se trata básicamente de la libre configuración regional (o marco) y es muy instructivo para realizar los cálculos en el mismo para ver qué bien por encima de los medios. En un sentido es la "correcta" de valor quantale analógica de $\mathcal P(S)$; la segunda, es inútil para los fines de la métrica de los espacios, mientras que el anterior es precisamente lo que uno necesita (para demostrar, por ejemplo, que todos los espacios topológicos es metrizable). Generalmente, $a\le b\prec c$ implica $a\prec c$ $a\prec b \le c$ implica $a\prec c$ (y por lo tanto de la transitividad de la siguiente manera demasiado, ya que $a\prec b$ implica $a\le b$).

Answer 3

No puedo en buena fe, respuesta a la pregunta 1, porque no veía lo suficiente como ejemplos de esa relación para obtener una informal idea de ello.

Como para la 2, la primera nota que $q \succ p$ implica $q \geq p$ (como se indica en el artículo vinculado, también), y he aquí un ejemplo donde las dos relaciones diferentes:

Consideremos el conjunto a $S = \{a,b,c,d\}$, por lo que su poder establecer $V$ es un completo entramado wrt inclusión y el infimum es dado por la intersección. A continuación, vamos a $q = \{a,b\}, p = \{b\}$, y observar que $q \supset p$ pero $q \not \succ p$. De hecho, si $A = \{\{b,c\},\{b,d\}\}$, luego $$ p = \{b,c\} \cap \{b,d\} = \inf a \quad \text{pero} \quad q \no \supseteq \{b,c\},\{b,d\} $$ Por otro lado, $q' = \{a,b,c\}$ está muy por encima de $p$, debido a que ninguno de los tres elemento subconjunto de $S$ diferente de la $q'$ contiene $d$ $\{b,d\}$ es la única de dos elementos y conjunto que contiene a $p$ y no contenida en $q'$.

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Aún más sorprendente ejemplo: consideremos el conjunto de enteros no negativos ordenado por la divisibilidad, de modo que el infimum de un subgrupo está dado por el máximo común divisor de sus elementos, y fijar un entero positivo arbitrario $p$. A continuación, el único entero bien por encima de los $p$$0$.

De hecho, vamos a $q$ ser cualquier número entero positivo. Entonces siempre podemos encontrar dos enteros positivos enteros $m,n$ tal que $m,n,q$ son parejas coprime. Por lo tanto $$ \inf \{m,n\} = 1 \mediados de p \quad \text{pero} \quad m,n \nmid q $$

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Por otro lado, en $\Bbb{Z}$ con el orden usual $\succ$ es de hecho equivalente a $\leq$. En efecto:

• Si $q \succ p$, entonces, por definición,$q \geq p = \inf \{p\}$.

• Por otro lado, supongamos $q \geq p$. Si $A$ es ilimitado, entonces claramente $q \geq a$ algunos $a \in A$. De lo contrario, $m = \inf A \in A$ $p \geq m$ implica $q \geq m$ por transitividad.