$|\log (1 + z)| \leq 2 |z|$ Complejo de la desigualdad

Question

Demostrar que para $|z|\leq0.5$, $|\log (1 + z)| \leq 2 |z|$.

Sé que $|\log (1 + z)|=|\log|1+z|+i\arg(1+z)|$$|\arg(1+z)|\leq\pi/6$$|z|\leq0.5$, pero luego no sé cómo proceder. Parece que la alcanza "=" al $z=0$? Gracias!

Answer 1

Para la compleja $z$,$|z|\leq1$$z\neq 1$, tenemos $$ \log(1+z)=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n. $$ Por tanto, para $|z|\leq\frac{1}{2}$ tenemos $$ |\log(1+z)|=\left|\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^nz^n}{n}\right|\leq|z|\sum^{\infty}_{n=0}\frac{|z|^n}{n+1}<|z|\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 2^2}+\frac{1}{4\cdot 2^3+\ldots}\right)=|z|C, $$ donde $$ C=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{(n+1)2^n}<\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2. $$ QED