Deje $K \subset L$ ser una extensión de campo, $K[X]$ e $L[X]$ el correspondiente polinomio de anillos (en una variable) y $I \subset K[X]$ un ideal. Quiero mostrar que la $I=K[X] \cap IL[X]$, donde $IK[X]$ denota el Ideal generado por a$I$ en $K[X]$.
Tengo dicho que, si bien hay muchas maneras de demostrar esta forma abstracta, no se supone que es un muy simple prueba que sólo implican Álgebra Lineal.
Realmente no sé por dónde empezar aquí. La inclusión de izquierda a derecha es trivial, pero no tengo mucho más. Cualquier ayuda, aunque sólo una sugerencia - se agradece.
Respuesta
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En general, si $F$ es un campo, entonces $F[x]$ es un PID (sugerencia: Algoritmo de Euclides).
Así que supongamos $I = (f)$ donde $f \in K[x]$. Para mostrar la no-obvia la inclusión, es suficiente para mostrar que si $fg \in K[x]$ para algunos $g \in L[x]$, a continuación, $g \in K[x]$. Escribir $f = \sum a_i x^i$ e $g = \sum b_j x^j$, donde $a_i \in K$ e $b_j \in L$. A continuación, $fg$ tiene término constante $a_0b_0 \in K$, lo $b_0 \in K$. A continuación, el término lineal es $a_0b_1 + b_0 a_1 \in K$, lo $b_1 \in K$. A continuación, puede proceder de manera similar.
Hay un error que he dejado en - ¿qué debe hacer si $a_0$ o $b_0$ es cero? (o $a_1, b_1$, etc.) Voy a dejar esto para solucionarlo.
Esta es una típica pregunta que usted verá en el descenso de la teoría. Por ejemplo, Galois descenso dice que si $V$ es $K$-espacio vectorial y $L/K$ es de Galois, entonces $(V \otimes_K L)^{\operatorname{Gal}(L/K)} = V$. (Así que si $L/K$ es de Galois, entonces se puede aplicar $V=I$ y usted está en casa.) Bernard le preguntó si usted sabe fielmente plano módulos porque, he aquí, hay algo que se llama fielmente plano de descenso.
