Signo de la correlación de variables de sesión

Question

Si sabemos que las variables aleatorias $X$ $Y$ están correlacionados positivamente, sabemos que las variables aleatorias $Z = \log(X)$ $W = \log(Y)$ están correlacionados positivamente?

Answer 1

No, sin ningún tipo de asunción, a sabiendas de la (Pearson) correlación en $X$ $Y$ no da ninguna pista sobre la (Pearson) correlación entre el$\log X$$\log Y$. Véase el siguiente ejemplo en R:

x1 = c(10^-100, 1, 10^5)
x2 = c(1, 10^-100, 10^5)

cor(x1, x2) # = 1
cor(log(x1), log(x2)) # -0.4251781

(Aquí, $X_1$ $X_2$ puede tomar $3$ valores con igualdad de probabilidades de $\frac{1}{3}$.)

Answer 2

No lo hacemos.

Usted puede calcular una aproximación a través de la Serie de Taylor que debería funcionar bastante bien para X y y tener un pequeño coeficiente de variación o de estar cerca de lo normal.