Sabemos que las funciones propias del Laplaciano en una compacta colector $M$ formar una contables base de la $H^1(M)$. Si $L$ $2k$- orden elíptica operador, realice las funciones propias de $L$ forma una base para $H^k(M)$? Referencias/más detalle se agradece. Gracias.
Respuesta
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Sí, si su operador auto-adjunto y coercitivas en el sentido de que $$ \langle Lu,u\rangle \geq \alpha \|u\|_{H^k}^2 - C \|u\|_{L^2}^2, $$ donde $\alpha>0$. Esto incluye, en particular, fuertemente elíptica operadores.
Más en general, vamos a $V$ $H$ ser espacios de Hilbert, con la compacta y densa de la incrustación de $V\hookrightarrow H$. Incorporamos $H$ a $V'$ a través de la identificación de $H\eqsim H'$. Deje $L:V\to V'$ ser un delimitada lineal operador de satisfacciones $$ \langle Lu,v\rangle = \langle u,Lv\rangle, \qquad\textrm{para}\quad u,v\V, $$ y $$ \langle Lu,u\rangle \geq \alpha \|u\|_{V}^2 - C \|u\|_{H}^2, \qquad\textrm{para}\quad u\V, $$ con $\alpha>0$. Entonces
- Por la representación de Riesz teorema, $L+C\,\mathrm{id}:V\to V'$ es invertible.
- El inverso $R=(L+C\,\mathrm{id})^{-1}|_{H}$, restringido a $H$, como un operador $R:H\to H$, es compacto.
- Hay una base ortonormales $\{u_n\}$$H$, que consta de los vectores propios de a $L$. Esta es una aplicación de la teoría espectral de operadores compactos.
- Los autovalores son reales y finito de la multiplicidad, y satisfacer $\lambda_n> -C$ $\lambda_n\to\infty$ (sigue de Hilbert-Schmidt teoría). Este y el anterior artículo, también pueden ser derivados directamente del trabajo con $L$ por métodos variacionales.
- Las funciones de $\{u_n\}$ forma también una base de $V$, que es ortogonal con respecto al producto interior $\langle L\cdot,\cdot\rangle + C\langle\cdot,\cdot\rangle_{H}$.
Permítanme elaborar en el último punto un poco ya que este parece ser el corazón de la cuestión. La ortogonalidad de la siguiente manera $$ \langle Lu_n,u_m\rangle + C\langle u_n,u_m\rangle_{H} = \langle \lambda_nu_n,u_m\rangle + C\delta_{nm} = (\lambda+C)\delta_{nm}. $$ La integridad de la $\{u_n\}$ $V$ sigue de manera similar de la integridad de $\{u_n\}$$H$. Dejando $v\in V$, tenemos $$ \langle Lu_n,v\rangle + C\langle u_n,v\rangle_{H} = \langle \lambda_nu_n,v\rangle + C\langle u_n,v\rangle_{H} = (\lambda_n+C) \langle u_n,v\rangle_{H}. $$ Así que si $v$ es ortogonal a cada uno de los $u_n$ con respecto al nuevo producto interior en $V$$v=0$.
