Supongamos $f\in \mathscr{R}$ $[0,A]$ todos los $A<\infty$, e $f(x)\to 1$$x\to +\infty$. Demostrar que $$\lim \limits_{t\to 0}t\int_{0}^{\infty}e^{-tx}f(x)dx=1 \quad (t>0).$$
Prueba: Vamos a definir $F(t)=t\int_{0}^{\infty}e^{-tx}(f(x)-1)dx$$t>0$. Deje $\epsilon>0$ ser dado, a continuación, $\exists A=A(\epsilon)>0$ tal que para cualquier $x\geqslant A$ tenemos $|f(x)-1|<{\epsilon}/{2}.$ $$|F(t)|=\left|t\int_{0}^{\infty}e^{-tx}(f(x)-1)dx\right|\leqslant t\int_{0}^{\infty}e^{-tx}|f(x)-1|dx=t\left(\int_{0}^{A}+\int_{A}^{\infty} \right)\leqslant$$$$\leqslant t\int_{0}^{A}e^{-tx}|f(x)-1|dx+t\frac{\epsilon}{2}\int_{A}^{\infty}e^{-tx}dx.$$
Desde $|f-1|\in \mathscr{R}$ $[0,A]$ $|f-1|$ está delimitada en $[0,A]$ (Rudin la asunción en el Capítulo 6) y deje $C=\sup \limits_{[0,A]}|f(x)-1|$ entonces tenemos que: $$|F(t)|\le Ct\int_{0}^{A}e^{-tx}dx+t\frac{\epsilon}{2}\int_{A}^{\infty}e^{-tx}dx=C(1-e^{-At})+\dfrac{\epsilon}{2}e^{-At}<ACt+\dfrac{\epsilon}{2}$$ since $0<e^{-A}<1$ and $e^{-A}>1-A$. Taking $\delta=\dfrac{\epsilon}{2AC}$ then for any $t\en (0,\delta)$ we get $|F(t)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ which is equivalent to $\lim \limits_{t\to 0+}F(t)=1$ y obtenemos nuestro resultado deseado.
¿Alguien puede revisar mi prueba, por favor? Yo estaría muy agradecido por su ayuda!
